Dimension Kern

07.12.2009, 19:26

Physinetz

Dimension Kern

Guten abend miteinander,

habe kurz eine Frage zu Kern etc.:

Wie ich schon gelernt habe hat ein inhomogenes LGS genauso viel Lösungen wie das dazugehörige homogene LGS.
Folglich sind die Lösungsräume von gleicher Dimension. richtig?

Laut dem Dimensionssatz gilt:

$\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha)+ dim \ Bild(\alpha)= dim V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dim Kern (\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ja die Lösungsmenge des zu der Abbildung gehörenden homogenen LGS.

Da die Lösungsmenge des inhomogenes LGS genauso viel Lösungen wie das des dazugehörige homogene LGS hat, müssen doch die Dimensionen gleich sein.Und die Dimension des dazugehörige homogene LGS ist ja definiert durch die Dimension des Kerns.
Somit müsste doch eigentlich gelten: $\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha) = dim V \end{eqnarray*}$

Versteht ihr was ich meine?

Verwechsle ich hier irgendwas? Sicherlich ... weil es gilt ja : $\begin{eqnarray*} dim V\geq dim ~Kern (\alpha) \end{eqnarray*}$

Nur was ich verwechsle ist mir unklar...Gehören obige Regeln :

L(homogen)=L(inhomogen) L=Lösungen
--> Dim (Lösung homogen LGS) = Dim (Lösung inhomog. LGS) Ist das überhaupt richtig?

und

$\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha)+ dim \ Bild(\alpha)= dim V \end{eqnarray*}$

überhaupt zusammen?

Beste Grüße Physinetz

07.12.2009, 19:33

Merlinius

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RE: Dimension Kern

Zitat:

Original von Physinetz

Wie ich schon gelernt habe hat ein inhomogenes LGS genauso viel Lösungen wie das dazugehörige homogene LGS.
Folglich sind die Lösungsräume von gleicher Dimension. richtig?

mhh...

also folgendes inhomogene gleichungssystem hat keine lösung:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 1<br /> x_1 + x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

aber folgendes homogenes gleichungssystem hat eine lösung:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 0<br /> x_1 + x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

edit:...

07.12.2009, 19:35

tigerbine

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Nachgefragt.
Das ist mir hier alles zu durcheinander. Wir haben den Spezialfall

* homogenes LGS: Ax=0. Die Urbilder der Null, der Kern, ist die Lösungsmenge Er ist aber noch mehr. Er ist auch ein UVR. D.h., dass z.B: mit Ax=0 und Ay=0 auch gilt A(x+y)=0. Wenn der Kern nicht trivial (Nullvektor) ist, dann gibt es unendlcih viele Lösungen.

Für das inhomogene LGS gilt das nicht.

* inhomogenes LGS: Ax=b. Da suchen wir die Urbilder von b. Selbst wenn es mehrere gibt, durch eine LK Kombination kommt man nicht wieder auf eine Lösung. Ferner ist diese Lösungsmenge kein UVR.

Zitat:

Wie ich schon gelernt habe hat ein inhomogenes LGS genauso viel Lösungen wie das dazugehörige homogene LGS.

Was verstehst du unter "zugehörig"? Ich dachte an Ax=0, Ax=b. Da stimmt das nicht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das homogene besitzt einen 1D-Lösungsraum, die Lösungsmenge des inhomogenen ist leer.

08.12.2009, 16:54

Physinetz

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Habe ein Zitat von Kiste gefunden:

Zitat:

Falls es eine Lösung des inhomogenen LGS gibt so gibt es genauso viele Lösungen wie im homogenen Fall.

ZITAT "kiste"

So meinte ich das...

Zurück zu meinem Post:

wie verhält es sich dann mit $\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha) = dim V \end{eqnarray*}$ , das ist ja nicht immer der Fall, aber wieso nicht (siehe Frage oben)

Das was du mir geschrieben hattest war mir eig. klar, hatte nur den Fehler (siehe Zitat "kiste")

08.12.2009, 17:18

tigerbine

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RE: Dimension Kern

Zitat:

Original von Physinetz
Laut dem Dimensionssatz gilt:

$\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha)+ dim \ Bild(\alpha)= dim V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dim Kern (\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ja die Lösungsmenge des zu der Abbildung gehörenden homogenen LGS.

Da die Lösungsmenge des inhomogenes LGS genauso viel Lösungen wie das des dazugehörige homogene LGS hat, müssen doch die Dimensionen gleich sein.Und die Dimension des dazugehörige homogene LGS ist ja definiert durch die Dimension des Kerns.
Somit müsste doch eigentlich gelten: $\begin{eqnarray*} dim \ Kern (\alpha) = dim V \end{eqnarray*}$

Versteht ihr was ich meine?

Nein, ich verstehe nicht was du meinst. Was soll das miteinander zu tun haben? Wir haben eine Abbildung A: V -> W. Man könnte als LGS schreiben:

b=Ax

Dabei ist der Kern, die Menge der Urbilder von b=0, also die Lösung von Ax=0 und ein UVR in V. Das Bild ist ein UVR von W, indem alle Vektoren b liegen für die es ein x in V gibtmit b=Ax. Das hat nichts mit der lösungsmenge des inhomogonen LGS zu tun.

10.12.2009, 17:54

Physinetz

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also ist folgendes gemeint:

Zum Beispiel:

Ich habe eine Abbildung: A: V-->W , z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} 2x \\ 3x \\ 4x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun kann ich das ganze, falls es linear wäre, durch eine Matrix ausdrücken.

also Vektor a = Matrix * x , und die Dimension des Kerns wäre dann praktisch immer die Lösungsmenge meiner erweiterten Matrix (die mit 0 erweitert wird) .
Die Dimension des Bild wäre die Anzahl meiner linear unabhängigen Vektoren

Und die Dimension beider Lösungsräume gibt dann die Dimension von V .

Vielleicht ist mein Beispiel ein bisschen irreführend, aber im Prinzip geht so oder?

Also wenn ich die Dimension des Kerns ausrechnen möchte, dann funktioniert das entweder über die Dimensionsformel, oder indem ich die Matrix mit 0 erweitere und dann umforme?

10.12.2009, 18:01

tigerbine

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Ja sicher kannst du den Defekt entweder direkt über den Kern berechnen oder eben die Dimensionsformel benutzen.

10.12.2009, 21:21

Physinetz

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Könnte ich auch die Dimension von W ausrechnen irgendwie?

Die Dimension von W erhalte ich ja, nachdem ich einen Vektor v_1 aus V mit der entsprechenden überführenden Matrix zu einem Vektor von W mache (w_1).

Jetzt kann ich ja dann von w_1 die Dimension ablesen (Anzahl der Zeileneinträge).

z.B. Vektor v_1 von V sieht so aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch die Abbildungsmatrix wird er dann zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\\w_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt ich habe dimV = 3 und dimW= 4 , richtig?

10.12.2009, 21:27

tigerbine

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W ist der Raum, in dem die Bilder liegen. Da gibt es nichts auzurechnen. Das ist doch vorgegeben. Spätestens durch die Zeilen der Matrix.

10.12.2009, 21:30

Physinetz

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ok....tut mir leid das ich hier soviel poste...aber will es einfach versteh und ja uni mäßig kann man bis auf seine komilitonen (die's auch nicht sooo checken) nich viele fragen

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