gleichung im komplexen

08.12.2009, 13:34

gruenerblob

gleichung im komplexen

und weils so schön ist noch ein drittes mal. Augenzwinkern

bin heut fleißig

berechnen sie alle komplexen lösungen

$\begin{eqnarray*} (z^2-1-i)^2+2i=0 \end{eqnarray*}$

also zuerst hab ich die klammer durch w substituiert.

w^2 = -2i

|-2i| = 2

arg(-2i) = 3pi/2

|w| = wurzel 2

so und jetzt müsste ja sowas in der art kommen

w0 = wurzel2 * (cos*3pi/2 + i*sin*3pi/2)

nur jetzt weiß ich nicht wie ich auch die anderen lösungen komme.

mit dem ansatz w = a+bi komm ich leider irgendwie auch nicht viel weiter.
da komm ich nur auf die lösung b= wurzel2
bei a analog. a = wurzel 2

schon mal danke für eure hilfe!!!

08.12.2009, 14:11

Ehos

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Schreibe besser

$\begin{eqnarray*} [z^2-(1+i)]^2=-2i \end{eqnarray*}$

Ziehe die Wurzel

$\begin{eqnarray*} z^2-(1+i)=\pm \sqrt{-2i} \end{eqnarray*}$

Bringe (i+1) nach rechts

$\begin{eqnarray*} z^2=\pm \sqrt{-2i}+1+i \end{eqnarray*}$

Ziehe wieder die Wurzel

$\begin{eqnarray*} z=\pm \sqrt{\pm \sqrt{-2i}+1+i} \end{eqnarray*}$

Man hat insgesamt also 4 Lösungen und sollte diese auf die geeignete Form a+ib bringen.

08.12.2009, 14:14

Leopold

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Wer einmal in seinem Leben $\begin{eqnarray*} (1 - \operatorname{i})^2 = - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ berechnet hat, sollte sich diesen Zusammenhang gut merken. Er kann an vielen Stellen hilfreich sein, zum Beispiel hier:

$\begin{eqnarray*} w^2 = \left( 1 - \operatorname{i} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Welche Möglichkeiten gibt es also für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2009, 14:36

gruenerblob

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@ ethos

deine erste zeile vesrteh ich nicht.
warum

[z^2 -(1+i)]^2 ???

wieso ist jetzt i+1 gleich i-1?

08.12.2009, 14:37

corvus

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RE: gleichung im komplexen
>
w^2 = -2i

so und jetzt müsste ja sowas in der art kommen
w0 = wurzel2 * (cos*3pi/2 + i*sin*3pi/2) Teufel

**********************
du willst das einfach nicht kapieren - oder?
.. - in welcher Klasse bist du denn?

also noch ein Versuch:

w^2 = -2i
1) -2i = 2* [ cos(3pi/2 + k*2pi) + i*sin(3pi/2 + k*2pi) ]

2) Ansatz: w= |w| * ( cos(phi) + i* sin(phi) ) .. -> also:->

w² = |w|² * ( cos(2* phi) + i* sin(2* phi) ) = 2* [ cos(3pi/2 + k*2pi) + i*sin(3pi/2 + k*2pi) ]

3) w= sqrt(2) * [ cos(3pi/2 + k*2pi )/2) + i*sin((3pi/2 + k*2pi )/2 ] ... für k=0 und für k=1

und jetzt:

$\begin{eqnarray*} [z^2-(1+i)]^2=-2i \end{eqnarray*}$

löse nun
z² = (1+i) + w0
und
z² = (1+i) + w1

.. setze die oben berechneten Werte für w ein, dann siehst du
rechts steht ja nun eine bekannte Zahl a+bi

also löse nun noch z² = a+bi

nach dem gleichen Muster ..
Ansatz jeweils z= |z|* ( cos(alpha) + i* sin(alpha) )

usw..

wie heissen also deine vier Lösungen? -> ..?..
<

08.12.2009, 14:38

El_Snyder

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RE: gleichung im komplexen

Zitat:

Original von gruenerblob
so und jetzt müsste ja sowas in der art kommen

w0 = wurzel2 * (cos*3pi/2 + i*sin*3pi/2)

nur jetzt weiß ich nicht wie ich auch die anderen lösungen komme.

Sagt dir die Gleichung $\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n]{r} \cdot exp \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\frac{i \phi }{n} + k\cdot \frac{2\pi i}{n}) \end{eqnarray*}$ für die n-te Wurzel einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten etwas? Damit geht es eigentlich recht einfach.
Zur Kontrolle (hoffe ich hab mich nich verrechnet):

$\begin{eqnarray*} z_1 = 1+i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_2 = -z_1 = -(1+i) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_3 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_4 = -z_3 = - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 15:19

gruenerblob

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ah stimmt! @corvus.

gerade nochmal geprüft hab mich da verhauen.

wir machen des ohne dieses k deswegen blick ich da noch net ganz durch.

auf w0 kommen ich.

1) -2i = 2* [ cos(3pi/2 + k*2pi) + i*sin(3pi/2 + k*2pi) ]

nur hier weiß ich nicht wie du zum einen auf k*2pi kommst. also genau die 2pi

und zum anderen woher du weißt wie oft du k hochzählst. also was genau k ist.

löse nun
z² = (1+i) + w0
und
z² = (1+i) + w1

verstehe ich auch nicht so ganz wie du jetzt auf einmal auf die gleichung kommst.

die umformung von ehos ist mir jetzt klar.

demnach müsste bei ihm die +- wurzel -2i bei die das w0 bzw w1 sein.
aber keine ahnung warum....

naja wenn ich jetzt bei deiner gleichung w0 einsetze kommt raus

z²= 1 + i + wurzel2 * -i/2
sin((3pi/2 + k*2pi )/2 = -1/2

und jetzt?
klar ich kann noch die wurzel ziehen.

entschuldige bitte aber mitlerweile bin ich komplett verwirrt. traurig

08.12.2009, 16:16

Leopold

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$\begin{eqnarray*} w^2 = -2 \operatorname{i} \ \ \Leftrightarrow \ \ w^2 = \left( 1 - \operatorname{i} \right)^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ w = \pm \left( 1 - \operatorname{i} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ z^2 - 1 - \operatorname{i} = \pm \left( 1 - \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

Es sind also noch die zwei Gleichungen $\begin{eqnarray*} z^2 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^2 = 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ zu lösen. Und bei der zweiten kann man wieder den leicht modifizierten Trick anwenden.

08.12.2009, 16:29

gruenerblob

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ah ok des kapier ich jetzt.

also die umformung.

bringt mich zwar bei dem verständniss mit der anderen rechnung net weiter aber egal jetzt Augenzwinkern

also beim ersten ist ja die lösung + - wurzel 2
und beim zweiten müsste es dann + - wurzel1+i sein

da (1+i)²=2i ist.

ok wunderbar.

danke dir!

08.12.2009, 16:36

Leopold

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Und das geht nur deshalb so einfach, weil man auswendig weiß, daß

$\begin{eqnarray*} \left( 1 \pm \operatorname{i} \right)^2 = \pm 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

gilt. Aber bei $\begin{eqnarray*} w^2 = 144 \end{eqnarray*}$ weiß man ja auch auswendig, daß $\begin{eqnarray*} w^2 = 12^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} w = \pm 12 \end{eqnarray*}$ ist und macht das ohne Taschenrechner.
Das enthebt dich natürlich nicht der Pflicht, dich um die Rechnungen von oben zu kümmern. Wenn es einmal nicht so glatt geht ...

08.12.2009, 16:42

gruenerblob

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ah ok könntest du vielleicht auch mal einen blick auf meinen anderen post mit der wurzel komplexer zahlen werfen? komme da nicht mehr weiter.

muss aber diesmal den w= a+ bi ansatz machen.

den anderen über polarkoordinaten hab ich.

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