Ideal

08.12.2009, 13:40	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal Hallo!! Ich habe ein Ideal $\begin{eqnarray} A=<5,1+2\sqrt{-6}> in \ \mathbb Z \left[\sqrt{-6}\right]. \end{eqnarray}$ Ich soll die kleinste natürliche Zahl n finden, sodass $\begin{eqnarray} A^{n} \end{eqnarray}$ ein Hauptideal ist. My question: Was ist zB $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ ? Ich verstehe nicht, wie man diese Potenzen berechnet... Hoffe, jemand kann helfen.
08.12.2009, 16:58	erwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen von Idealen sind durch folgende Definition bestimmt: $\begin{eqnarray} A^n=(\left \{ a^n \| a \in A \right \}) \end{eqnarray}$ . Das müsste normalerweise in deinem Skript stehen. Ein Hauptideal ist einfach ein Ideal, das von nur einem Element erzeugt wird. Deine Aufgabe ist es nun, die kleinste Potenz zu finden, s.d. das Ideal zu einem Hauptideal wird. Nutze die Eigenschaften des Ideals, d.h. konkret: $\begin{eqnarray} a \cdot r \in (5, 1+2\sqrt{-6}) \quad \forall\ r \in \mathbb Z[\sqrt{-6}],\ a \in (5, 1+2\sqrt{-6}) \end{eqnarray}$ Mit ein wenig Herumprobieren kann man die Aufgabe leicht lösen. Viel Spass.
08.12.2009, 22:08	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Produkt zweier Ideale I und J ist definiert als $\begin{eqnarray} IJ := \left\{\sum_{k=1}^n x_iy_i \| n\in\mathbb N, x_i\in I, y_i\in J \right\} \end{eqnarray}$ Ansonsten gibt es ein Problem mit der Abgeschlossenheit bzgl. Addition: $\begin{eqnarray} a^n+b^n=c^n \end{eqnarray}$ ?
08.12.2009, 22:36	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Die erste Variante (von dir Erwin) hielt ich zuerst für richtig, aber dann habe ich es für meinen Beweis ausprobiert und es hat nicht hingehauen. Es blieb mir nur noch eine Möglichkeit übrich, und zwar deine Therisen. Ich habe es einfach so gemacht ohne deine Definition zu kennen. Also danke für die Bestätigung!! PS: Wir haben kein Skript und mein Prof. lässt gerne mal Definitionen und Sätze weg...
08.12.2009, 22:37	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Abgeschlossenheit bez. Addition gäb's kein Problem, wenn man die runden Klammern oben als "Erzeugnis" interpretiert, aber es wäre ein anderes Ideal...

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