Logarithmus Rechenregeln?

08.12.2009, 15:44

Kiki89

Logarithmus Rechenregeln?

Hi! Habe ein paar Probleme mit Logarithmusfunktionen, bzw. wahrscheinlich banalen Gesetzen.

habe hier eine Aufgabe:

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} ²log(\sqrt[2]{3} -1) = 1- ²log(\sqrt[2]{3} +1) \end{eqnarray*}$

ich finde einfach keine passenden Regeln. Genauso wie das hier:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{2-\sqrt[2]{3} } -\sqrt[2]{2+\sqrt[2]{3} } =-\sqrt[2]{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand vielleicht helfen wie man damit rumdoktorn kann?

08.12.2009, 16:07

klarsoweit

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RE: Logarithmus Rechenregeln?

Zitat:

Original von Kiki89
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} ²log(\sqrt[2]{3} -1) = 1- ²log(\sqrt[2]{3} +1) \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du: $\begin{eqnarray*} log_2(\sqrt[2]{3} -1) = 1 - log_2(\sqrt[2]{3} +1) \end{eqnarray*}$

Bringe mal den Logarithmus von rechts nach links und wende Log-Regeln an.

Ist das Hochschulmathe? verwirrt

08.12.2009, 16:09

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 1 - \log_2 \left( \sqrt{3} + 1 \right) = \log_2 2 - \log_2 \left( \sqrt{3} + 1 \right) = \log_2 \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \end{eqnarray*}$

Und wie so oft hilft Binomi III weiter.

Die zweite Behauptung ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der Gleichung stellt aufgrund der Größenordnung der Radikanden sicher eine positive Zahl dar. Wenn die nun gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein soll, müßte ihr Quadrat ja 2 sein. Quadriere also die linke Seite. Wenn sich nach etwas Rechnung 2 ergibt, hast du eine positive Zahl gefunden, deren Quadrat 2 ist. Da es aber nur eine solche Zahl gibt, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , muß die fragliche positive Zahl gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein.

08.12.2009, 16:21

Kiki89

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ok das mit der dem logarithmus ist mir nun klar, aber diese Wurzelfunktion nicht...
mit dem quadrieren hab ich's auch schon versucht (bei der Wurzelgleichung) aber ich komme auf kein richtiges Ergebnis!

08.12.2009, 16:26

Kiki89

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jetzt habe ich einfach zwischendurch was in den Taschenrechner eingegeben und dafür 1 erhalten, aber ich verstehe nicht wieso!??!?!?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{2+\sqrt[2]{3} } * \sqrt[2]{2-\sqrt[2]{3} } =1 \end{eqnarray*}$

wieso is das so?

08.12.2009, 16:41

Leopold

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$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \, , \ b = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$

Und hierin speziell:

$\begin{eqnarray*} ab = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\left( 2 + \sqrt{3} \right) \left( 2 - \sqrt{3} \right)} \end{eqnarray*}$

Das ist die Verträglichkeit des Wurzelziehens mit der Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \cdot \sqrt{v} = \sqrt{uv} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u,v \geq 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt unter der großen Wurzel ausmultiplizieren.

08.12.2009, 16:44

Kiki89

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oh man ich könnte glaub ich das ganze Arbeitsblatt erfragen unglücklich

ich kann einfach nicht mit Logarithmen... und ja das ist Hochschulmathematik, aber bin erst am Anfang Augenzwinkern

hab noch ein Problem, vielleicht kann mir jemand einfach einen Ansatz geben
muss es in Worten schreiben, krieg die Basis nicht mit dem Formeleditor hin...
Also

1/ (log zur Basis 2 von Pi) + 1/log zur Basis 8 von Pi) > 2

achso und auf der Uni hab ich die Schreibweise für die Basis anders kennengelernt als in der Schule, da schreiben wir die Basis als Hochzahl vor den Logarithmus... kA was das soll

Danke schonmal für die Hilfe!

08.12.2009, 16:46

Kiki89

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Ah danke Leopold... hätte nur nicht gedacht dass ma das darf da unter der Wurzel ja nicht das gleiche steht (Vorzeichen bei der wurzel aus 3)... Das war der Haken!!!

08.12.2009, 17:00

Leopold

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Zitat:

Original von Kiki89
achso und auf der Uni hab ich die Schreibweise für die Basis anders kennengelernt als in der Schule, da schreiben wir die Basis als Hochzahl vor den Logarithmus... kA was das soll

Da gibt es verschiedene Schreibweisen. Üblich sind $\begin{eqnarray*} \log_2 \, , \ {}_2 \log \, , \ {}^2 \log \end{eqnarray*}$ . Alle Schreibweisen haben ihre Vor- und Nachteile beim Lesen. Insbesondere bei Leuten mit einer Sauklaue ...

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