Komme bei Gauß nicht weiter

09.12.2009, 16:38

Physinetz

Komme bei Gauß nicht weiter

Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien der Vektor $\begin{eqnarray*} (1,0,2, 3-t²)^T \end{eqnarray*}$ und die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ -2 & -2t & t & 4+t\\ -4t & -4 & 2-2t & 8t \\ 6 & -6 & 3+t & -9+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll Rang von A bestimmt werden sowie Lösungsraum von Ax=0.

Dazu versuche ich die Matrix A auf Stufenform zu bringen und bin bis jetzt so weit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2t-2 & 1+t & 1+t\\ 0 & 0 & 2t & 2 \\ 0& 0 & t & t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich noch gerne die "-2" in Zeile 1 Spalte 2 wegbekommen. Nur weiß ich nicht wie, weil ich sollte ja am Besten die Zeile 1 mit Zeile 2 irgendwie verrechnen. Aber ich kann ja nicht einfach bei Zeile 1 von jedem Koeffizienten -2t abziehen, das geht nach Gauß ja nicht...

Wie könnte ich weitermachen?

Also zum Nachvollziehen bisher:

1) Schritt:

z_1
z_1+z_2
2*t*z_1 - z_3
-3*z_1 + z_3

2) Schritt:

z_1
2*z_2 - z_3
z_3
z_4

Das ist dann meine Matrix wie weit ich gekommen bin, nun hakts...

Vielen Dank für die Hilfe

09.12.2009, 18:20

Physinetz

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Also ich bin zum Schluss gekommen, dass ich nur noich eine umformung benötige für den Rang, somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2t-2 & 1+t & 1+t\\ 0 & 0 & 2t & 2 \\ 0& 0 & 0 & t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus kann ich direkt den Rang ablesen:

für t=-1 , 0 , 1 ist der Rang 3
für t ungleich 1 ist der Rang 4

Kann ich jetzt eigentlich um auf die Lösung des homog. Gleichungssystem zu kommen, den Dimensionssatz benutzen?

Also dimV = dim Kern + dim Bild

wobei dim Bild = 3 bzw. 4 ist und dimV = 4 (dim V = 4 da der Vektor b 4 Einträge hat? )

09.12.2009, 18:32

Kopfrechner

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> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2t-2 & 1+t & 1+t\\ 0 & 0 & 2t & 2 \\ 0& 0 & t & t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

> Nun würde ich noch gerne die "-2" in Zeile 1 Spalte 2 wegbekommen.

In der 2.Zeile kannst du vorne -2 ausklammern und dann 1+t aus der Zeile eliminieren (für t<> -1), dann wird's leicht.

Gruß, Kopfrechner

09.12.2009, 18:37

Physinetz

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Ok passt, nur folgendes nun noch:

Kann ich jetzt eigentlich um auf die Lösung des homog. Gleichungssystem zu kommen, den Dimensionssatz benutzen?

Also dimV = dim Kern + dim Bild

wobei dim Bild = 3 bzw. 4 ist und dimV = 4 (dim V = 4 da der Vektor b 4 Einträge hat? )

Dim Kern wäre dann entsprechend 1 bzw. 0

Speziell nun für t=0 soll eine Basis des Kerns berechnet werden, wie mache ich das? Muss ich jetzt meine Matrix doch noch auf Stufenform bringen um die Base abzulesen?

Gruß

10.12.2009, 13:54

Physinetz

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für t=0 lautet die umgeformte Matrix dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -0,5 & -0,5\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung des homogenen Systems wären ja nun die Basen:

[latex]\begin{pmatrix} 0 \\ +0,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und [latex]\begin{pmatrix} 2 \\ +0,5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Nun habe ich 2 Basen des Kerns, aber die Dimension des Kerns ist für t=0 ja nur 1 und nicht 2 (da 2 Basen)

Irgendwas stimmt also nicht, wie funktioniert denn das? War das überhaupt richtig was ich gemacht habe?

10.12.2009, 14:07

klarsoweit

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RE: Komme bei Gauß nicht weiter

Zitat:

Original von Physinetz
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ -2 & -2t & t & 4+t\\ -4t & -4 & 2-2t & 8t \\ 6 & -6 & 3+t & -9+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll Rang von A bestimmt werden sowie Lösungsraum von Ax=0.

Dazu versuche ich die Matrix A auf Stufenform zu bringen und bin bis jetzt so weit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2t-2 & 1+t & 1+t\\ 0 & 0 & 2t & 2 \\ 0& 0 & t & t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann leider nicht nachvollziehen, mit welcher Umformung die 3. Zeile entstanden ist.

10.12.2009, 14:31

Physinetz

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Dann ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ -2 & -2t & t & 4+t\\ -4t & -4 & 2-2t & 8t \\ 6 & -6 & 3+t & -9+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 & (z_1) \\ 0 & -2t-2 & t+1 & t+1 & (z_1+z_2) \\ 0 & -4t-4& 2 & 2t & (2t*z_1-z_3)\\ 0 & 0 & t & t & (-3z_1+z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also die Angaben mit z gehören natürlich rechts neben die Matrix....!

Nächste Umformung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 & (z_1) \\ 0 & -2t-2 & t+1 & t+1 & (2*z_2-z_3) \\ 0 & 0 & 1t & 1 & (z_3/2)\\ 0 & 0 & t & t & (z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann eben noch letzten beiden Zeilen verrechnen, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 & (z_1) \\ 0 & -2t-2 & t+1 & t+1 & (2*z_2-z_3) \\ 0 & 0 & 2t & 2 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & t-1 & (-z_3+z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was mich bei der letzten Umformung noch irritiert:

Ich greife nur mal die letzten beiden Zeilen raus, die sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & t & t & (z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die verrechne und nun z_3 - z_4 mache kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & 1-t & (z_3- z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mache: z_4 - z_3 kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & t-1 & (z_4-z_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo steckt da der Fehler?
Und hab ich mich sonst noch wo verrechnet? Falls nicht, stimmt dann alles was ich in vorherigen Beiträgen geschrieben habe?

10.12.2009, 15:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
Aber was mich bei der letzten Umformung noch irritiert:

Ich greife nur mal die letzten beiden Zeilen raus, die sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & t & t & (z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die verrechne und nun z_3 - z_4 mache kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & 1-t & (z_3- z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein da kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1-t & (z_3 - z_4)\\ 0 & 0 & t & t & (z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.

Weiter oben hast du auch wenigstens einen Fall, wo Beschreibung und durchgeführte Umformung nicht zueinander passen.

10.12.2009, 17:11

Physinetz

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$\begin{eqnarray*} [latex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1-t & (z_3 - z_4)\\ 0 & 0 & t & t & (z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/latex]

Du schreibst ja (z_3 - z_4 ) neben die 3te Zeile , wieso? Darf ich das nicht auch in die 4. Zeile schreiben und es für die 4.Zeile berechnen?

Oder muss ich die angegebene Operation immer in der Zeile ausführen, in der das erste z steht?

Also: (z_3 - z_4 ) muss neben der neuen Zeile 3 dann stehen
oder z.B (t*z_1 + z_2) muss in zeile 1 neben dran stehen?

Aber das ist doch im Prinzip wurst wo ich die verrechnete Zeile hinschreibe...

Hier nochmal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & t & 1 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & 1-t & (z_3- z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z_3 - z_4 ist ja:

Spalte 1: 0-0 Spalte 2: 0-0 Spalte 3: t-t=0 Spalte 4: 1-t = 1-t

Dann stimmts doch?

Verstehe das nich so ganz, dachte bei Gauß kann ich die Zeilen "willkürlich" verrechnen

10.12.2009, 19:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
Du schreibst ja (z_3 - z_4 ) neben die 3te Zeile , wieso? Darf ich das nicht auch in die 4. Zeile schreiben und es für die 4.Zeile berechnen?

Im Prinzip ja. Dann machst da aber im Grunde z_4 - z_3 mit anschließender Multiplikation mit -1.

Zitat:

Original von Physinetz
Oder muss ich die angegebene Operation immer in der Zeile ausführen, in der das erste z steht?

Also: (z_3 - z_4 ) muss neben der neuen Zeile 3 dann stehen
oder z.B (t*z_1 + z_2) muss in zeile 1 neben dran stehen?

Müssen nicht, ist aber zu empfehlen. Das schafft Klarheit beim Leser und vermeidet Verwirrungen, wie deine Frage, warum du verschiedene Ergebnisse bekommst, auch zeigt.

10.12.2009, 21:16

Physinetz

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Naja egal, lassen wir mal die Zeilenumformungen...

Eher zur Frage zurück:

1)
Kann ich jetzt eigentlich um auf die Lösung des homog. Gleichungssystem zu kommen, den Dimensionssatz benutzen?

Also dimV = dim Kern + dim Bild

wobei dim Bild = 3 bzw. 4 ist und dimV = 4 (dim V = 4 da der Vektor b 4 Einträge hat?)

Dim Kern wäre dann entsprechend 1 bzw. 0

2)

Speziell nun für t=0 soll eine Basis des Kerns berechnet werden, wie mache ich das? Muss ich jetzt meine Matrix doch noch auf Stufenform bringen um die Base abzulesen?

Die beiden Sachen wüsst ich noch gern

11.12.2009, 10:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
Kann ich jetzt eigentlich um auf die Lösung des homog. Gleichungssystem zu kommen, den Dimensionssatz benutzen?

Also dimV = dim Kern + dim Bild

wobei dim Bild = 3 bzw. 4 ist und dimV = 4 (dim V = 4 da der Vektor b 4 Einträge hat?)

Dim Kern wäre dann entsprechend 1 bzw. 0

Im Prinzip kannst du dimV = dim Kern + dim Bild verwenden. Die Dimension des Kern hängt natürlich von t ab.

Aber Vorsicht: dim(v) ist nicht 4, weil der Vektor b 4 Einträge hat, sondern weil die Matrix 4 Spalten hat und somit nur auf 4-komponentige Vektoren angewendet werden kann.

Zitat:

Original von Physinetz
Speziell nun für t=0 soll eine Basis des Kerns berechnet werden, wie mache ich das? Muss ich jetzt meine Matrix doch noch auf Stufenform bringen um die Base abzulesen?

Ja.

13.12.2009, 20:01

Physinetz

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Also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 & (z_1) \\ 0 & -2t-2 & t+1 & t+1 & (2*z_2-z_3) \\ 0 & 0 & 2t & 2 & (z_3)\\ 0 & 0 & 0 & t-1 & (-z_3+z_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für t=0 ergibt sich somit die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -0,5 & -0,5 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe z_3 durch 2 geteilt, z_4 mit -1 multipliziert und dann noch (z_1 - z_2)/2 , sowie z_2 durch -2 geteilt .

a) Darf ich nun eigentlich die untere Zeile Streichen? Wohl nur dann, wenn ich eine Lösung berechnen soll z.B. bei A*x = b oder? Nicht aber bei Berechnung der Base eines Kerns?

b) Wie ich oben herausgefunden hatte, ist für t=0 dim Kern=1 , da der rang 3 ist für t=0 und dim V = 4 .

Das heißt bei dimKern = 1 müsste ich nur eine Base herausbekommen. Wenn ich nun die Matrix betrachte, bekomme ich 2 Basen heraus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ +0,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hätte ich ja dann dim Kern = 2

Da stimmt ja irgendwas nicht, wo hakts?

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)

14.12.2009, 09:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
a) Darf ich nun eigentlich die untere Zeile Streichen? Wohl nur dann, wenn ich eine Lösung berechnen soll z.B. bei A*x = b oder? Nicht aber bei Berechnung der Base eines Kerns?

Durch Subtraktion der 3. Zeile von der 4. Zeile entstehen in der letzten Zeile nur Nullen, so daß du diese weglassen kannst. Dies gilt natürlich nur für die Bestimmung des Kerns. Für A*x = b mußt du die um b erweiterte Matrix betrachten.

Zitat:

Original von Physinetz
b) Wie ich oben herausgefunden hatte, ist für t=0 dim Kern=1 , da der rang 3 ist für t=0 und dim V = 4 .

Das heißt bei dimKern = 1 müsste ich nur eine Base herausbekommen. Wenn ich nun die Matrix betrachte, bekomme ich 2 Basen heraus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ +0,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der 2. Vektor ist keine Lösung für die 3. Zeile. Augenzwinkern

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