nicht abelsch

09.12.2009, 21:09

janlausitz

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nicht abelsch

halllo

Wink

,
Und zwar hab' ich folgende Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob das der richtige Ansatz ist um selbige zu lösen verwirrt

verwirrt

Also
Sei k ein Körper und $\begin{eqnarray*} Gl_n(k) \end{eqnarray*}$ = {A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(nxn,k): A ist invertierbar} Nun soll man zeigen, daß $\begin{eqnarray*} Gl_n(k) \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2 nicht abelsch ist.
Ich hab mir dann zwei beliebige Matrizen A und B genommen. Mit
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_11 & ... & a_1n \\ .. & .. & ... \\ a_n1 & ... & a_nn \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_11 & ... & b_1n \\ .. & .. & ... \\ b_n1 & ... & b_nn \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nun muss man ja zeigen dass A+B $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ B+A oder?

09.12.2009, 21:18

lgrizu

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RE: nicht abelsch
GL_n ist die gruppe der matrizen mit der matrizenmultiplikation, die addition ist kommutativ.
also für A, B zeigen, dass $\begin{eqnarray*} AB\neq BA \end{eqnarray*}$ .

09.12.2009, 21:23

janlausitz

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Ok blöde Frage aber multipliziert man Matrizen? Vielleicht kannst du mir das am Beispiel der Multiplikation einer 3x3 mit einer 3x3 Matrix erklären?
Aber der Ansatz stimmt schon?

09.12.2009, 21:36

sav.

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Wenn du zwei Matrizen multiplizieren willst, wende folgende einfache Formel der Matrizenmultiplikation an:

Für $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m} \text{ und } \ B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n} \\ \end{eqnarray*}$ ist das Produkt $\begin{eqnarray*} C=A \cdot B= (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n} \text{ und }c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj} \end{eqnarray*}$ .

09.12.2009, 21:49

lgrizu

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@sav.
wenn du dich schon einmischt, geh bitte vollständig auf die frage ein, dann kannste hier weitermachen, wenn nicht, lass es bitte.....

der ansatz stimmt nicht, es ist die frage, ob vorausgesetzt wird, dass $\begin{eqnarray*} GL_n \end{eqnarray*}$ eine gruppe ist und man nur zeigen muss, dass sie nicht abelsch ist, oder ob man erst noch zeigen soll, dass es eine gruppe ist.
und dann, multiplikation statt addition, was soll an dem ansatz dann richtig sein?
wenn man die verknüpfung + durch * vertauscht, dann ist das richtig, aber das ist kein wirklicher ansatz, sondern lediglich die definition von nicht-kommutativität.

09.12.2009, 22:04

janlausitz

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Du meinst also dass ich erst noch zeigen muss dass Gln überhaupt eine Gruppe ist?

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09.12.2009, 22:07

lgrizu

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wie ist denn deine fragestellung genau?

09.12.2009, 22:14

lgrizu

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hast du denn die matrizenmultiplikation verstanden? wenn nicht, hier git es ne ganz gute erklärung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)

09.12.2009, 22:14

janlausitz

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Naja die Frage lautet, ob Gln für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2 abelsch ist

09.12.2009, 22:21

lgrizu

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okay, dann wird wohl vorausgesetzt werden, dass $\begin{eqnarray*} GL_n \end{eqnarray*}$ eine gruppe ist, also einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} AB \neq BA \end{eqnarray*}$ ist.
kommst du mit der matrizenmultiplikation klar, oder willst du noch was dazu wissen?

09.12.2009, 22:54

janlausitz

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Also ich probier's mal:
AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_11b_11+..+a_nb_n & .... & a_11b_11+...+a_1nb_1n \\ ............ \\ a_n1b_n1+..+a_nnb_nn & .... & a_n1b_n1+...+a_nnb_nn \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2009, 23:05

lgrizu

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nee, ist falsch, wenn du das element $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ deiner Matrix AB haben willst nimmst du den i-ten zeilenvektor von A und multiplizierst ihn mit dem j-ten spaltenvektor von B;
also zum beispiel das element $\begin{eqnarray*} c_{23} \end{eqnarray*}$ von AB ist die zweite zeile von A multipliziert mit der 3.spalte von B.
multiplikation ist die skalarmultiplikation.

bei dir sind alle elemente in der letzten zeile gleich......

09.12.2009, 23:20

janlausitz

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Danke dass du mir das noch mal so einfach hingeschrieben hast smile

smile

Also nochmal

AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_11b_11+...+a_1nb_n1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also so beginnt dann meine Matrix. oder?

09.12.2009, 23:26

lgrizu

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so ist richtig, jedenfalls das erste element......

09.12.2009, 23:30

janlausitz

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Danke für die einfache Erklärung smile

smile

Also
AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_11b_11+...+a_1nb_n1 & ... & a_11b_1n+..+a_1nb_nn \\ ......... \\ a_n1b_11+..+a_nnb_n1 & ...... & a_n1b_1n+..+a_nnb_nn \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2009, 23:32

janlausitz

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Oh sorry dachte der letzte Beitrag wurde nicht reingestellt. Naja dafür hab' ich die Matrix nun ganz dargestellt Big Laugh

Big Laugh

Und nun muss man sehen dass AB ist nicht BA und somit ist die Aufgabe zu Ende?

09.12.2009, 23:40

lgrizu

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Zitat:

Original von janlausitz
Danke für die einfache Erklärung smile

smile

Also
AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_11b_11+...+a_1nb_n1 & ... & a_11b_1n+..+a_1nb_nn \\ ......... \\ a_n1b_11+..+a_nnb_n1 & ...... & a_n1b_1n+..+a_nnb_nn \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

alle elemente in den zeilen sind gleich, das ist so nicht richtig, ich mache es dir mal mit einer 2X2 matrix vor:

sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} AB=\begin{pmatrix}a_1*x_1+a_2*y_1 &a_1*x_2+a_2*y_2 \\ b_1*x_1+b_2*y_2 & b_1*x_2+b_2*y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2009, 23:49

janlausitz

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aber $\begin{eqnarray*} c_11 \end{eqnarray*}$ war richtig. Eigentlich müsste ich das Prinzip verstanden haben verwirrt

verwirrt

Naja dein Beispiel konkretisiert das Problem ja noch mal schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2009, 00:02

lgrizu

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wenn du noch probleme haben solltest, sag ruhig bescheid, aber mach dich, bevor du das zeigst erst mal mit matrizenmultiplikation vertraut.

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