Spektralradius

10.12.2009, 11:03	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralradius Hallo, ich habe ein Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Tx=b, \ \ b \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} T=\begin{pmatrix}<br /> 3 & 2\\ <br /> 1 & 2<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dieses Gleichungssystem soll man lösen mittels dem folgenden Iterationsverfahren: $\begin{eqnarray} x^{(0)}:=0, \quad x^{(k+1)}:=x^{(k)}- \alpha(Tx^{(k)}-b),\quad k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Nun ist die Frage, wann der Spektralradius von $\begin{eqnarray} I-\alpha T \end{eqnarray}$ minimal ist (wobei hier $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix bezeichne). Wie muss ich an die Aufagbe herangehen? Muss ich die Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray} I-\alpha T \end{eqnarray}$ berechnen? Ich hab das mal gemacht: $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix}<br /> 1-3 \alpha & -2\alpha \\ <br /> -\alpha & 1-2 \alpha <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte sind dann $\begin{eqnarray} -\alpha+1, -4 \alpha+1, \end{eqnarray}$ Aber wie muss ich weitermachen?? Vielen Dank im Voraus Grüße, Thorsten
10.12.2009, 12:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius Also dir Frage nach dem Spektraradius ist ja "einfach" zu beantworten, da die Matrix nur 2x2 ist und wir die Eigenwerte einfach berechnen können. Hast du ja auch gemacht. Die Stimmen auch. Nun musst du alpha so wählen $\begin{eqnarray} \min_{\alpha}~\max\{\|1-\alpha\|,~\|1-4\alpha\|\} \end{eqnarray}$ Schauen wir uns das im Bild an. In Jedem Punkt x (=alpha) ist der Spektralradius der größere der beiden Funktionswerte. Wenn wir das bunt einzeichnen, dann kommt man auf den größeren der beiden Schnittpunkte. Das ganze über eine Fallunterscheidung zu machen, überlasse ich dir. $\begin{eqnarray} \alpha =0.4 \end{eqnarray}$ Hier: [WS] Lineare Gleichungssysteme 3 - Iterative Verfahren steht vielleicht ein wenig zur Motivationsidee dieses Ansatzes. Ich bin gerade nicht mehr so im Thema drinnen, aber da die Konvergenzgeschwindigkeit und Genauigkeit etwas mit der Spektralnorm zu tun hat, macht der Ansatz den Spektraradius zu minimieren sicherlich Sinn. Vielleicht kommentierst du die Aufgabe einmal, wenn ihr sie besprochen habt.
10.12.2009, 16:53	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort und die graphische Veranschaulichung die du erstellt hast. Ich habe mir aus den Vorlesungen nur notiert, dass das Iterationsverfahren optimal konvergiert, falls der Spektralradius der Matrix $\begin{eqnarray} I - \alpha T \end{eqnarray}$ minimal wird. Viele Grüße, Thorsten

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