Abgeschlossenheit

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janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit
Hallo Wink
Und zwar soll ich zeigen dass und die leere Menge die einzigen Teilmengen des die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Sind denn Teilmengen des sowas wie , bis ? Also insgesamt ? Und was bedeutet eigentlich, daß eine Menge abgeschlossen oder offen ist? Heißt das dass selbige beschränkt ist oder eben unbeschränkt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beitrag zeugt von denkbar schlechten Vorraussetzungen.

Du hast scheinbar weder verstanden, was eine Teilmenge des ist, noch scheinst du die Begriffe offen und abgeschlossen verstanden haben. Dies sollte dir allerdings vorher klar sein, bevor du dich an den Beweis wagst.

Übrigens: Es sollte eine Toplogie/Metrik/Norm angegeben sein, sonst macht die Aufgabe eigentlich keinen Sinn.



PS: Hier ist ein Beweis für . Der ist fast 1:1 auf den übertragbar.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

oh je. Anscheinend hab' ich echt große Wissenslücken unglücklich . Kannst du mir vielleicht erklären, ab wann man sagt dass eine Menge abgeschlossen oder offen ist? Und was sind nun Teilmengen von ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr müsst die Begriffe doch alle definiert haben. Sonst macht so eine Aufgabe doch keinen Sinn.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich denn zum Beispiel zeigen, dass die leere Menge genau dann abgeschlossen und gleichzeitig offen ist, falls sie sowohl in der epsilon umgebung eines Punktes x U als auch in der epsilon Umgebung eines weiteren Punktes y \U liegt?
wobei U und U eine offene Kugel darstellt.
Gruß jan
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs wenn du zunächst einmal sagst wie ihr die Offenheit einer Teilmenge definiert habt und du dann sagt, was du daran verstehst [oder auch nicht]?
 
 
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Also darunter verstehe ich eine offene Kugel die eben nur aus inneren Punkten besteht. Was soviel heißt, als dass die epsilonumgebung eines Punktes x für den gilt x dieser Kugel ganz in der Kugel liegt. Falls nun eine Kugel abgeschlossen ist und x auf dem Rand liegt so gilt dass die epsilonumgebung sowohl Punkte aus der Kugel als auch aus dem Komplement enthält. Stimmt das soweit?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und nein.

Eine Menge ist genau dann offen, wenn es für alle Punkte ein [abhängig vom Punkt ] gibt so, dass die offene Kugel
ganz in der Menge enthalten ist, das heisst gilt.

Leider ist das nicht unbedingt so anschaulich und es mag verwirrend sein dass man die Offenheit einer Menge durch offene Kugeln definiert.
Es wäre vielleicht besser die offenen Kugeln am Anfang nicht "offen" zu nennen und ersteinmal zu beweisen, dass diese Kugeln selbst tatsächlich offen sind [was ihr wohl in der Vorlesung mal gemacht habt; ansonsten wäre das eine gute Übung. Hinweis dazu: Dreiecksungleichung und eine Skizze].

Erst durch die Definition der Offenheit weiss man, wann eine Menge also offen ist und erst dann, kann man von inneren Punkten, Randpunkten etc sprechen [denn diese Punkte sind schliesslich selbst mit der Hilfe von offenen Mengen definiert].

Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn das Komplement offen ist.

Auch das ist leider nicht so anschaulich. Aber für den ist das äquivalent dazu, dass jede konvergente Folge, die alle ihre Folgenglieder in hat, auch ihren Limes in hat.
Wenn du ein bischen darüber nachdenkst siehst du sicher ein, dass man damit quasi "eingesperrt" in der Menge ist.

Und ja, ein Randpunkt einer Menge ist einer, der in jeder offenen Umgebung einen Punkt von und auch einen Punkt vom Komplement enthält.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich dann nur zeigen, dass die leere Menge und IR^n Randpunkte sind?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann ist eine Menge ein Punkt?

Zeige, dass die leere Menge als Teilmenge von und der offen sind.

Was ist dann das Komplement der leeren Menge als Teilmenge von ? Und was ist das Komplement von ?
Wieso sind diese Komplemente dann offen? Das bedeutet?
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je stimmt ja Big Laugh
Das Komplement der leeren Menge als Teilmenge von IR^n ist IR^n oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von janlausitz
Das Komplement der leeren Menge als Teilmenge von IR^n ist IR^n oder?


Ja Freude .
Nun, falls du gezeigt hast dass offen ist, was folgt dann?
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Dann folgt, dass das Komplement zu abgeschlossen sein muss. Jedoch ist das Komplement zu wieder die leere Menge oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, und damit ist dann gezeigt, dass die leere Menge abgeschlossen in ist.

Also zeige, dass offen ist.


Analog:
ist abgeschlossen.
Um das zu zeigen, was ist das Komplement von in ?
Zeige, dass dieses Komplement offen ist [ziemlich klar].

Damit hast du gezeigt, dass die leere Menge und der tatsächlich beide offen und abgeschlossen sind.

Nun folge dem Hinweis von tmo, das heisst dem Link, um zu zeigen, dass jede andere Teilmenge diese Eigenschaft nicht hat.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok probier's mal mit dem Beweis von tmo. Falls ich nicht weiter kommen sollte meld' ich mich nochmal Augenzwinkern Vielen Dank für deine Antworten smile
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Probier' mal den Beweis.
z.Z leere Menge und IR^n sind offen. (Denn falls leere Menge offen ist so folgt, dass IR^n abgeschlossen ist und falls IR^n offen ist so ist leere Menge abgeschlossen)
Beweis: leere Menge ist offen
Wäre M = leere Menge relativ zu einer Menge X nicht offen so gäbe es ein x leere Menge s.d für alle U(x) ein y (U(x) X mit y nicht element von leerer Menge ist. So ein x kann aber nicht existieren, da die leere Menge keine Elemente enthält.
Kann man das bis hier so stehen lassen? Ich find' das total irritierend, da man weiß dass die leere Menge sowieso keine Elemente enthält trifft es auch zu das diese offen sein muss oder? Wie schreibt man das aber formal korrekt auf?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: Was soll dieses relativ offen? Es geht um die Offenheit im und nicht in einer komischen Relativtopologie.

Naja, dass die leere Menge offen ist, ist wirklich sehr einfach. Aber die Begründung läuft trotzdem mit der Definition der Offenheit.
Schreib nochmal diese Definition hin. Diese sagt dass eine Menge offen ist, wenn jedes Element der Menge eine gewisse Bedingung erfüllt. Nun nutze, dass du die leere Menge betrachtest [d.h. es gibt kein Element in ihr, also kann auch kein Element dieser Bedingung widersprechen. Das ist natürlich ein bischen subtil...].
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also
Die leere Menge ist also genau dann offen, wenn es für alle Punkte ein [abhängig vom Punkt ] gibt so, dass die offene Kugel
ganz in der leeren Menge enthalten ist, das heisst gilt. Na gut da nun aber für alle x{ x leere Menge ---> A} ist äquivalent zu für alle x{ x ist nicht Element der leeren Menge V A} mit A als der Def. der Offenheit. folgt aus x ist nicht Element der leeren Menge dass für alle x gilt: x ist nicht Element der leeren Menge oder A. Hab' gerade versucht deinen vorletzten Satz formaler auszudrücken was aber schätz' ich mal nicht ganz so geglückt ist Big Laugh Passt das bis hier?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machst du es denn dir so kompliziert? unglücklich
Wenn du meinen vorigen Beitrag genau gelesen hättest, dann hättest du gemerkt dass ich dir die Lösung schon verraten habe.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß, aber ich wollte das nur formaler ausdrücken. Aber lass' das glaub' ich Augenzwinkern Ok dann muss man nur noch zeigen dass M= IR^n IR^n offen ist. Angenommen IR^n wäre abgeschlossen. So gilt per def. dass eine Folge in M, die im IR^n einen Grenzwert besitzt ihren Grenzwert schon in M hat. Ok hier häng' ich leider unglücklich
tmo beweist doch, dass eine Menge falls sie nicht die leere Menge und nicht IR^n darstellt entweder abgeschlossen oder offen sein muss oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das beweist er, aber eigentlich für den Fall statt .
Aber du kannst seinen Beweis als Vorlage nehmen und einen für zu finden.

Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass die leere Menge und die einzigen Mengen in sind, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Dazu musst du natürlich erstmal überprüfen dass die beiden Mengen das auch tatsächlich sind. Und das sollst du gerade tun.

Mein Hinweis war direkt mit der Definition zu arbeiten.
Diese sagt, dass pro Punkt eine gewisse Eigenschaft gelten musst. Du müsstest bloss sagen wieso diese Eigenschaft hier immer erfüllt ist, was eigentlich vollkommen trivial ist.

Dann kommt das Argument von tmo, das das erste nicht-triviale in der Aufgabe ist.
janlausitz Auf diesen Beitrag antworten »

Also für Ok also
für ein p IR^n muss gelten dass <epsilon und somit ganz in IR^n enthalten ist nun muss aber jeder Punkt x in IR^n enthalten sein, da das Komplement zu IR^n die leere Menge ist und folglich keine Elemente enthält womit stets gilt dass <epsilon wieder in IR^n liegt.
Kann man das so lassen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für mich ist es OK.
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