Vektoranalysis allgemein

10.12.2009, 18:40

Shini

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Vektoranalysis allgemein

Hallo zusammen

ich beschäftige mich derzeit (intensiv) mit Vektoranalysis, da demnächst eine Klausur ansteht. Allerdings verliere ich (offensichtlich) so langsam aber sicher den Überblick. Ganz speziell in den Bereichen Kurvenintegrale, Flächeninhalte, Arbeit, Zirkulation, Flächenintegrale... Mit und ohne Gauß und Stokes. Kann mir hier eventuell jemand helfen!?

Also nochmal kurz von mir:

Zirkulation=Kurvenintegral
Arbeit=Kurvenintegral (ggf nur in bestimmten Situationen??)

Ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Außerdem stelle ich mir die fragen:

Wann integriere ich NUR über den Betrag des Normalenvektors?
Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Ableitung dessen?
Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Normalenvektor?

Und eine abschliessende Frage:

Wie berechne ich ein Rechtssystem?

im 2-dim: Prüfung, ob Vektoren senkrecht aufeinander stehen?
im 3-dim: Prüfung, ob Spatprodukt > 0 ?

Danke für eure Hilfe.

LG

10.12.2009, 18:58

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein
Zirkulation=Kurvenintegral auf einem geschloßenen Weg in einem Vektorfeld(reine Mathematik, allgemein)

Arbeit=Kurvenintegral von Kraft auf einem Weg für den von dieser Kraft verrichtete Arbeit berechnet werden soll(Physikalische Interpretation, spezialfall)

Wann integriere ich NUR über den Betrag des Normalenvektors? Normalenvektors von was? Meinst du, wann $\begin{eqnarray*} \int{\vec F\cdot \vec {ds}} = \int{Fds} \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2009, 19:43

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Na Normalenvektor = Kreuzprodukt zweier Vektoren (in verschiedene Richtungen abgeleitet). Und Davon den Betrag. Über den integriere ich, nach meinem Wissen, wenn ich einen Flächeninhalt ausrechne. Aber da bin ich mir nicht mehr so sicher und ggf mache ich das ja auch in anderen Fällen?

$\begin{eqnarray*} | \vec{x} _{u} \times \vec{x} _{v} | = | \vec{n} | \end{eqnarray*}$

10.12.2009, 19:50

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \int_c^d \! f(x,y) \, dx, dy \end{eqnarray*}$
mit
a=0
b= $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}a }{2} \end{eqnarray*}$
c=y
d= $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}- y^{2} } \end{eqnarray*}$

Dieses Integral soll mit einfachen Methoden (laut Prof 6 Zeilen) zu lösen sein. Ich (wir) sind aber der Ansicht, dass er uns da mächtig einen Bären aufbindet? Laut Mathematica ist es auch nicht lösbar.

Hat jemand eine Idee??

Danke.

Edit: Lösung soll $\begin{eqnarray*} 2\pi a^{2} \end{eqnarray*}$ sein

10.12.2009, 20:30

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein
Ich weiß, was ein Normalenvektor ist smile

smile

Die Frage war, worauf es sich bezieht, nun redest du schon von Flächenintergralen, wo du vorher über Linienintegrale geredet hast.
Wenn ich mir Term d anschaue, würde ich auf Polarkoordinaten tippen.
Natürlich wird Mathematica dir das nicht lösen, denn du gibst keine f(x,y) vor, was man aber wissen muss, wenn man integrieren will.

10.12.2009, 20:38

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Achso. Entschuldige. Ich will wissen, wann man nur über den Normalenvektor integriert. Wir haben Aufgaben gerechnet, wo wir den Normalenvektor als zu integrierende Funktion benutzt haben. Ich bin mir nicht sicher, aber macht man dies für die Berechnung eines Flächeninhaltes?

Zudem muss ich Dich korrigieren. ich schrieb in meinen ursprünglichen Beitrag aus was von Flächenintegralen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und noch eine Ergänzung zu meiner Aufgabe. Ich vergaß die Funktion f(x,y).

Die Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{8\sqrt{2}x }{\sqrt{x^{2}+y^{2} } } \end{eqnarray*}$

Damit sollte es Mathematica bestimmen können, oder?

LG

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10.12.2009, 21:08

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein
Eben keine Zeit, ich schriebe dir später abends was dazu, wenn du dich noch meldest.

10.12.2009, 21:23

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
ich bin bestimmt noch bisschen online.

Ggf schau ich morgen früh wieder rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.12.2009, 01:11

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein
So,
du hast ein Flächenintegral $\begin{eqnarray*} \iint_A\vec E\cdot\vec{dA} \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \vec{dA} \end{eqnarray*}$ das (vektorielles) Flächenelement. Dieses als ein Vektor hat ein Betrag $\begin{eqnarray*} dA \end{eqnarray*}$ und die Richtung(Normaleneinheitsvektor des Flächenelements) $\begin{eqnarray*} \hat n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \vec{dA} = \hat n\cdot dA \end{eqnarray*}$

Wann integriere ich NUR über den Betrag des Normalenvektors?
Wenn du die Richtung vorher kennst, zb wenn E und dA beide in dieselbe Richtung zeigen oder wenn dich nur die parallele/senkrechte komponente des Feldes interessiert und du sie vor dem Integrieren ausrechnen kannst etc. Das muss man an konkreten Beispielen schauen.

Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Ableitung dessen?
Ich schäte du meinst hier eine Koordiantentransformation. Gib mir ein Beispiel, denn so, wie du Begriffe verwendest ist es nicht wirklich verständlich, sry.

Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Normalenvektor?
Schätze du meinst das Integrall $\begin{eqnarray*} \iint_A\vec E\cdot\vec{dA} \end{eqnarray*}$ Das ist die allgeimeine From, wenn du es nicht vereinfachen kannst.

Zu deinem Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \int_c^d \! \frac{8\sqrt{2}x }{\sqrt{x^{2}+y^{2} } }\, dxdy \end{eqnarray*}$
mit
a=0
b= $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}a }{2} \end{eqnarray*}$
c=y
d= $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}- y^{2} } \end{eqnarray*}$
Das ist offensichtlich Parametrisierung eines Kreises mit Radius a, in Polarkoordinaten:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \int_c^d \! \frac{8\sqrt{2}x }{\sqrt{x^{2}+y^{2} } }\, dxdy=8\sqrt{2} \int_0^{\pi /4} \int_0^a \! \frac{r \cos(\phi)}{r}rdrd\phi =\frac{8\sqrt{2}}{2} \int_0^{\pi /4} \! \cos(\phi)a^2d\phi =\frac{8\sqrt{2}}{2} (\sin(\pi/4)a^2)=4a^2 \end{eqnarray*}$
Irgendwo hast du oder ich noch pi verloren, schau mal, ob da in den Grenzen irgendwo noch ein Pi fehlt.

11.12.2009, 06:22

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Wann integriere ich NUR über den Betrag des Normalenvektors?

Aufgabe: Die Fläche eines Zylinders $\begin{eqnarray*} 2x=z^{2} \end{eqnarray*}$ , die von den Ebenen $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2}, y=2x, x=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausgeschnitten wird, soll berechnet werden.

=> $\begin{eqnarray*} \int_B \! | \vec{n} | \, db \end{eqnarray*}$

Sieht für mich aus (in einfachsten Worten), wie die Berechnung des Flächeninhalts der ausgeschnittenen Fläche!?!?!?

Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Ableitung dessen?

Aufgabe: Berechne die Arbeit, die notwendig ist, eine Masseeinheit auf dem Kreisumfang zu bewegen. $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \left(x+y,2x\right) ^{T} \end{eqnarray*}$ und
k: x=a cos(t)
y= a sin(t) , $\begin{eqnarray*} t\in \left[0,2pi\ \right] , a>0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! <\vec{F}(\vec{x}(t) , | \vec{x'}(t) | > \, dt \end{eqnarray*}$

Hier ist ein Kurvenintegral 2. Art zu rechnen (über eine geschlossene Kurve)!??!?! Und das Ergebnis wird mir (-1) multipliziert.

Und wenn ich 3 Kurvenstücke habe, rechne ich (sozusagen) 3 mal ein Kurvenintegral aus für verschiedene Bereiche B. Am Ende bilde ich $\begin{eqnarray*} k=k_{1}\oplus k_{2}\oplus k_{3} \end{eqnarray*}$ .. Dies bedeutet, ich rechne hier 3mal $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! <\vec{v}(\vec{x}(t) , | \vec{x'}(t) | > \, dt \end{eqnarray*}$ !?!?!?!?!

Wann integriere ich über das Skalarprodukt von Vektorfeld und Normalenvektor?

Hier finde ich grad nur Aufgaben mit dem Text "Berechne das Flächenintegrat"... Naja.

Im übrigen schreibe ich einfach so, wie ich es verstehe. Das "mathegeschwafel" (sry) hilft mir hier grad nicht weiter. Ich will das einfach nur verstehen, wann ich was mache, was welchen Rechnungen gleich ist usw. Es ist ein nicht so schönes Fach. Dennoch muss ich eine Prüfung schreiben. Die will ich einfach nur bestehen...

Danke!

LG

PS. Da fehlt nichts. Die Aufgabe ist genau so. Und wie kommst du auf die Darstellung in Kreiskoordinaten??? Wie kommst du überhaupt auf die Idee, dass es ein Kreis sein soll??

11.12.2009, 07:15

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Aus oben geschriebenen leite ich nun ab (in einfachen worten):

Flächeninhalt=Integral über Betrag des Normalenvektors

Kurvenintegral=Arbeit, wenn es sich um eine geschlossene Kurve handelt.
Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Arbeit, wenn es keine geschlossene Kurve ist.

Oberflächenintegrale, wenn eine Form (zum Beispiel ein Zylinder) etwas aus einer anderen Form (zum Beispiel hyperbolischer Paraboloid) ausschneidet, und die Oberfläche des ausgeschnittenen berechnet werden soll!?!!?

LG

11.12.2009, 09:12

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
also ich hab das mal berechnet. das ist zum einen ein Kegel und zum anderen ein Zylinder.

Kegel: $\begin{eqnarray*} y^{2}+z^{2}=x^{2} \end{eqnarray*}$
Zylinder: $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=a^{2} \end{eqnarray*}$

Ich komme nun auf $\begin{eqnarray*} a^{2}\pi \end{eqnarray*}$

11.12.2009, 14:58

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein
Aufgabe: Die Fläche eines Zylinders $\begin{eqnarray*} 2x=z^{2} \end{eqnarray*}$ , die von den Ebenen $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2}, y=2x, x=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausgeschnitten wird, soll berechnet werden.
$\begin{eqnarray*} \int_B \! | \vec{n} | \, db \end{eqnarray*}$
Du hast hier erst gar kein Vektorfeld, was du integrieren muss, brauchst also gar nicht mit Vektoren anzufangen undm kannst gleich zu. $\begin{eqnarray*} \int_B \! \, db \end{eqnarray*}$ rübergehen. Es ist bei der Berechnung des Weges, der Fläche oder des Volumens immer der Fall.

Aufgabe: Berechne die Arbeit, die notwendig ist, eine Masseeinheit auf dem Kreisumfang zu bewegen. $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \left(x+y,2x\right) ^{T} \end{eqnarray*}$

Die Arbeit auf einem Weg C ist IMMER als
$\begin{eqnarray*} \int_C \! \vec{F}(\vec{s})\cdot \vec{ds} \end{eqnarray*}$
gegeben, das ist eine Definition.
Jetzt hat man natülich kein Plan, wie man das berechnen soll, da man weder $\begin{eqnarray*} \vec{ds}=(dx,dy)^T \end{eqnarray*}$ kennt, noch sind Grenzen klar.
Der Trick ist, dass man diese Kurve, auf der die Arbeit verrichtet wird durch ein Parameter t ausdrücken kann.
Für ein Kreis ist es x=rcos(t), y=rsin(t).
Jetzt weiß man, dass $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} =x(t)' \end{eqnarray*}$ also kann man es so sehen: $\begin{eqnarray*} dx=(x)'dt \end{eqnarray*}$ Dasselbe für y.
also kann man nun dieses Integral lösen, indem man $\begin{eqnarray*} \vec {ds} = (dx, dy)^T=(x(t)'dt,y(t)'dt)^T=(x(t)',y(t)')^Tdt=\vec{s'}dt \end{eqnarray*}$
einsetzt, und so kommst du auf deine Lösung: $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \vec{F}(\vec{s}(t))\cdot \vec{s'}(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Und wenn ich 3 Kurvenstücke habe, rechne ich (sozusagen) 3 mal ein Kurvenintegral aus für verschiedene Bereiche B. Am Ende bilde ich $\begin{eqnarray*} k=k_{1}\oplus k_{2}\oplus k_{3} \end{eqnarray*}$ .. Dies bedeutet, ich rechne hier 3mal
Ja
Flächeninhalt=Integral über Betrag des Normalenvektors
Ja, du kannst den Normaleneinheitsvektor gleich wegschmeißen.

Kurvenintegral=Arbeit, wenn es sich um eine geschlossene Kurve handelt. Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Arbeit, wenn es keine geschlossene Kurve ist.
Nein, nein, nein.
Das hat mit geschloßenen oder nicht-geschloßenen Weg nichts zutun.
Arbeit ist es NUR dann, wenn du die Kraft F auch einem Weg integrierst.
Arbeit ist Kurvenintegral der KRAFT, egal ob geschloßen oder nicht.

Oberflächenintegrale, wenn eine Form (zum Beispiel ein Zylinder) etwas aus einer anderen Form (zum Beispiel hyperbolischer Paraboloid) ausschneidet, und die Oberfläche des ausgeschnittenen berechnet werden soll!?!!?
Oberflächenintegrale ist viel mehr, es ist praktisch dasselbe, wie Kurvenintegrale nur 2 dimensional.
Wenn du kein Vektorfeld zu integrieren hast, dann gibt dir Oberflächenintegral einfach nur den Flächeinhalt der Oberfläche.
Das ist so:
Kurenvintegral ohne Vektorfeld: Länge der Kurve
Oberflächenintegral ohne Vektorfeld: Flächeinhalt der Oberfläche
Volumenintegral ohne Funktion: Volumen

Du kannst also Oberflächenintegrale dazu benutzen Flächeninhalte auszurechnen, genau so, wie du Kurvenintegrale dazu benutzen kannst Länge einer Kurve auszurechen. Das ist praktisch die einfachste Anwendung, wenn du keine Funktion, wie zb Kraft, zu integrieren hast.
Wenn du aber Kraft in ein Kurvenintegral einsetzt, dann ist es keine Länge der Kurve mehr, sondern Arbeit. Genau so kannst du in ein Oberflächenintegral irgendwas einsetzen dann bekommst du kein Flächeninhalt, sondern was anderes, je nachdem, was du da einsetzt.

Und wie kommst du auf die Darstellung in Kreiskoordinaten??? Wie kommst du überhaupt auf die Idee, dass es ein Kreis sein soll??
Kreisgleichung: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2}=r \end{eqnarray*}$
komm dir das bekannt vor?
Aufgelöst nach x, $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{r^2-y^2} \end{eqnarray*}$
wieder bekannt? nur mit a an Stelle von r

Da fehlt nichts. Die Aufgabe ist genau so.
Dann ist $\begin{eqnarray*} 4\pi a^2 \end{eqnarray*}$ falsch, denn da soll kein $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ stehen.

11.12.2009, 17:31

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Ah verstehe. Jetzt ist mir schon mal klar, wieso ich bei der Arbeit denn F-Vektor habe. Ich dachte, das ist das selbe, wie der v-Vektor. Der alte Spruch "Namen sind Schall und Rauch" hat mir hier einen Streich gespielt... Gut. Liegt sicher auch daran, dass ich nicht viel Ahnung von Physik und dem ganzen Zeug habe. Leider. Ich würde es wirklich gern können...

Flächeninhalt=Integral über Betrag des Normalenvektors Ja, du kannst den Normaleneinheitsvektor gleich wegschmeißen.
Wieso wegschmeißen!? Steh ich grad auf der Leitung? Kommt manchmal vor, wenn ich Zwangsweise was verstehen will... geschockt

geschockt

Oder meinst du, dass ich über 1 integrieren soll? Aber das kann ich nur machen, wenn ich F gegeben habe. Das macht unser Prof selten. Wir haben hier immer B gegeben oder zu bestimmen. Daher muss ich über $\begin{eqnarray*} | \vec{n} | \end{eqnarray*}$ integrieren. Richtig?

Oberflächenintegrale sind 2-dim? Nicht bei uns. Wir haben meist 3-dim...!?!?!? Also wir haben immer 3-dimensionale Vektoren v oder/und n...

Und zur Aufgabe: Das leuchtet mir schon ein. Kann ich das denn anhand von Kreiskoordinaten machen, obwohl ich Kegel und Zylinder gegeben habe?
Außerdem sagst du, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} 4a^{2} \end{eqnarray*}$ sein soll und nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi a^{2} \end{eqnarray*}$ ? Hm...

Ich hab es mit Zylinderkoordinaten versucht. Ich hab
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{8} cos(t), y=\sqrt{8} sin(t), z=z , mit 0\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ gesetzt und hab das dann nach t und nach z abgeleitet, Kreuzprodukt gebildet und dann über $\begin{eqnarray*} <\vec{v}(\vec{x} ) | \vec{n} > \end{eqnarray*}$ integriert. So komm ich aber auf $\begin{eqnarray*} a^{2} \pi \end{eqnarray*}$ ...

11.12.2009, 17:49

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Ich sehe gerade, dass ich in der Aufgabe in der zu integrierenden Funktion einen Fehler habe. Sorry. Im Nenner muss ein Minus stehen, kein Plus.

$\begin{eqnarray*} 8\frac{\sqrt{2}x }{\sqrt{x^{2}-y^{2} } } \end{eqnarray*}$

11.12.2009, 18:36

Rmn

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RE: Vektoranalysis allgemein

Zitat:

Original von Shini
Flächeninhalt=Integral über Betrag des Normalenvektors Ja, du kannst den Normaleneinheitsvektor gleich wegschmeißen.
Wieso wegschmeißen!? Steh ich grad auf der Leitung? Kommt manchmal vor, wenn ich Zwangsweise was verstehen will... geschockt

geschockt

Oder meinst du, dass ich über 1 integrieren soll? Aber das kann ich nur machen, wenn ich F gegeben habe. Das macht unser Prof selten. Wir haben hier immer B gegeben oder zu bestimmen. Daher muss ich über $\begin{eqnarray*} | \vec{n} | \end{eqnarray*}$ integrieren. Richtig?

Flächeninhalt einer Oberfläche ist als
$\begin{eqnarray*} Flaecheninhalt=\int_A \hat n\cdot\vec{dA} \end{eqnarray*}$
gegeben, aber
$\begin{eqnarray*} \vec {dA} = \hat n\cdot {dA} \end{eqnarray*}$
Somit
$\begin{eqnarray*} Flaecheninhalt=\int_A (\hat n\cdot\hat n) dA = \int_A 1 dA \end{eqnarray*}$
diene funktion f ist für Flächeninhalt einfach 1.

11.12.2009, 19:14

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Kannst du mir die Aufgabe, die ich geschrieben habe, erklären? Ich hab die bestimmt schon 15mal in verschiedensten Arten gerechnet. Ich komm nicht drauf. Echt nicht. ich kann machen, was ich will... unglücklich

unglücklich

12.12.2009, 10:29

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Es ist Wochenende. Ich merk schon. Vielleicht ist es sinnvoller, wenn ich mal anfange, wie ich das rechne.

Andere Aufgabe:

Zylinder $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=8 \end{eqnarray*}$ schneidet den hyperbolischen Paraboloid $\begin{eqnarray*} x^{2} -y^{2} -z=0 \end{eqnarray*}$ und schneidet die Fläche F aus. Ermittle Inhalt von F.

Lösung:

Zylinderkoordinaten:
x=rcos(t)
y=rsin(t)
z=z
$\begin{eqnarray*} t\in \left[0,2\pi \right] \end{eqnarray*}$

Ich stelle den Normalenvektor auf: $\begin{eqnarray*} \vec{n} = (-z_{x},-z_{y},1) ^{T} \end{eqnarray*}$ (explizit)

Daraus ergibt sich folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi }\int_0^{\sqrt{8} } \! \sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1 } \, dr \, dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi }\int_0^{\sqrt{8} } \! \sqrt{4r^{2}+1 } \, dr \, dt \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich $\begin{eqnarray*} 4r^{2}+1=u \end{eqnarray*}$ substituieren.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dr} = 8r \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} dr=\frac{1}{8r} du \end{eqnarray*}$
Dann hab ich ein neues Integral
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi }\int_0^{\sqrt{8} } \! \sqrt{ u } \frac{1}{8r} \, du \, dt \end{eqnarray*}$

Und hier ist nun mein Problem. Da ist ein r drin, was da doch so nicht sein sollte. Oder? Ist das bis hier her soweit richtig? Oder nicht? Und wie weiter? Und falls es mir jemand sagt, warum?!

Danke und LG

13.12.2009, 09:28

Shini

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RE: Vektoranalysis allgemein
Ich bettel nur ungern, aber kann mir denn so gar keiner helfen? traurig

traurig

Bitte...

24.01.2010, 20:55

fnsr21

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Darfst du zur Klausur eine Tabelle mit Grundintegralen oder Ähnliches verwenden?

Substituier $\begin{eqnarray*} 2r = \sinh u \end{eqnarray*}$

und bedenke $\begin{eqnarray*} \cosh^2 - \sinh^2 = 1 \end{eqnarray*}$

10.07.2010, 19:28

snosbla

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Shini kannst du nochmal erklären, wie du auf das doppelintegral von dem normalenvektor aus gekommen bist?

11.07.2010, 11:29

plonk

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KÖnnte bitte jemand zu dieser aufgabe nochmal den lösungsansatz (also wie man auf das integral kommt) und das ergebnis schreiben?

würde meine lösung gern mal vergleichen.

Viele Dank

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