Quantile und Quartile

11.12.2009, 11:16

kerrl

Quantile und Quartile

Hallo,
ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Bei einer Klassenarbeit erhielten die 25 Schüler in alphabetischer Reihenfolge folgende Noten:
3, 5, 4, 3, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4

Geben Sie das 10%- und das 90%-Quantil sowie das untere und obere Quartil an.

Als Erwartungswert habe ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot 1 +5\cdot 2+8\cdot 3+6\cdot 4+2\cdot 5+1\cdot 6}{25} \end{eqnarray*}$ = 3,08

Ist das richtig?

Die Varianz berechne ich allgemein mit $\begin{eqnarray*} E(x^{2} ) + (E(x))^{2} \end{eqnarray*}$
aber wie hier?

11.12.2009, 11:30

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RE: Quantile und Quartile
Jein: Die Formel $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ stimmt für die Varianz einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Hier geht es aber um die empirische Varianz einer Stichprobe, und deren Formel ist nicht

$\begin{eqnarray*} s^2 \stackrel{?}{=} \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k^2 \right) - \bar{x}^2 = \frac{1}{n} \left( \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right) - n\bar{x}^2 \right) \end{eqnarray*}$ mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ ,

sondern

$\begin{eqnarray*} s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right) - n\bar{x}^2 \right) \end{eqnarray*}$ ,

also mit anderem Vorfaktor. Bei dir hier ist die Stichprobenanzahl $\begin{eqnarray*} n=25 \end{eqnarray*}$ , also insbesondere

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k^2 = 3\cdot 1^2 +5\cdot 2^2+8\cdot 3^2+6\cdot 4^2+2\cdot 5^2+1\cdot 6^2 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Dein berechneter Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} = 3.08 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Freude

11.12.2009, 11:48

kerrl

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Danke für die Antwort,
ok, mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k}^{2} \end{eqnarray*}$ = 269
ist dann die Varianz $\begin{eqnarray*} s^{2} = \frac{1}{24} (269 -25*3.08) \end{eqnarray*}$ = 8
Die Standardabweichung ist also $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich Quantile und Quartile ermitteln?

11.12.2009, 14:13

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Zitat:

Original von kerrl
ok, mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k}^{2} \end{eqnarray*}$ = 269

277 hab ich raus.

11.12.2009, 15:41

kerrl

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Hab mich verrechnet, mit 277 ist die empirische Varianz $\begin{eqnarray*} \frac{200}{24}=8 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Aaber wie gehts von da zu Quantilen? Hilfe

11.12.2009, 15:44

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"Von da" gar nicht. Für die Quantile (und Quartile sind nichts anderes als spezielle Quantile) benötigst du zuallererst die aufsteigend geordneten Werte der Stichprobe, auch "geordnete Stichprobe" genannt.

11.12.2009, 15:55

kerrl

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1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6,
bzw wie oben 3*1, 5*2,8*3,6*4,2*5 und 1*6

Ich weiss, dass Quartile $\begin{eqnarray*} Q_{0.25} \end{eqnarray*}$ -Quantile sind, aber zunächst soll ich ja nciht nur diese speziellen Quantile berechnen.

Die Quantilfunktion ist die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion, brauche ich also zuerst die Verteilungsfunktion oder wie ist vorzugehen?

11.12.2009, 16:01

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Ich weiß, dass im Detail ziemlich unterschiedliche Quantilformeln so durch die Gegend schwirren. Mir ist vor allem folgende bekannt, und die würde ich auch favorisieren:

$\begin{eqnarray*} Q_{\alpha} := \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} \left( x_{n\alpha}^* + x_{n\alpha+1}^* \right) & \;\mbox{falls $n\alpha$ ganzzahlig} \\[1em] x_{\lceil n\alpha \rceil}^* & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} x_1^* \leq x_2^* \leq \ldots \leq x_n^* \end{eqnarray*}$ die angesprochene geordnete Stichprobe, sowie $\begin{eqnarray*} \lceil \ldots \rceil \end{eqnarray*}$ (wie üblich gekennzeichnet) die Aufrundfunktion.

Beispiel: Bei n=25 Werten ist also

$\begin{eqnarray*} Q_{0.25} = x_{\lceil 25\cdot 0.25\rceil}^* = x_{\lceil 6.25\rceil}^* = x_7^* = 2 \end{eqnarray*}$

11.12.2009, 16:31

kerrl

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ok, also analog dazu das obere Quartil $\begin{eqnarray*} Q_{0.75} = x_{|18.75|}^{*} = x_{19}^{*} = 4 \end{eqnarray*}$

und die Quantile mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.1, 0.9 \end{eqnarray*}$ ?

11.12.2009, 17:34

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Na nach demselben Prinzip, wie du es gerade gerechnet hast, nur eben mit 0.1 bzw. 0.9 statt 0.75.

12.12.2009, 20:01

kerrl

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ok, vielen Dank!

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