Beweis - Teilbarkeit

11.12.2009, 12:09	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis - Teilbarkeit Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Beweisen Sie folgende Aussage für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} n^{5}-n\equiv 0(mod30) \end{eqnarray}$ Der Induktionsschritt ist $\begin{eqnarray} 30\|(n+1)^5-(n+1) \end{eqnarray}$ Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auf: $\begin{eqnarray} 30\|n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-(n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv 30\|(n^{5}-n)+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n \end{eqnarray}$ Jetzt klammer ich 30 aus und erhalte: $\begin{eqnarray} \equiv 30\|(n^{5}-n)+30(\frac{1}{6}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{3}n^{2}+\frac{1}{6}n) \end{eqnarray}$ Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (\frac{1}{6}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{3}n^{2}+\frac{1}{6}n)\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ aber wie?
11.12.2009, 12:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Musst du denn Induktion benutzen? Das ausmultiplizieren kann man sich sparen: $\begin{eqnarray} n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =5(n-1)n(n+1)+(n-1)n(n+1)(n^2-4)=5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ Der letzte Ausdruck ist offensichtlich durch 2,3, und 5 teilbar
11.12.2009, 21:30	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke erst mal, nur leider versteh ich deinen Ansatz nur zum Teil. Die Umformung versteh ich bis zu dem Schritt, wo die 5 auftaucht. Wie bist du da drauf gekommen und woher siehst du, dass das alles durch 2, 3 und 5 teilbar ist?
11.12.2009, 21:54	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda(30)=4 \end{eqnarray}$ ist (mit der Carmichaelfunktion $\begin{eqnarray} \lambda) \end{eqnarray}$ weil damit in Verbindung mit der Tatsache, dass 30 quadratfrei ist, sofort auch $\begin{eqnarray} n^{\lambda(30)+1} \equiv n \mod 30 \end{eqnarray}$ folgt...
11.12.2009, 22:54	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid das sagt mir alles noch gar nichts^^ ist grad meim erstes Semester als Student. Meint ihr denn nicht, dass man meinen Ansatz weiterverfolgen könnte? Oder ist das zu kompliziert?
11.12.2009, 23:24	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst doch Caesar's Wahlspruch "Divide et impera"? Das ist auch ein wichtiges Grundprinzip in der Mathematik... Deine Aufgabe ist also nicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} 30\|5n^4+10n^3+10n^2+5n \end{eqnarray}$ sondern zu zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} 2\|5n^4+10n^3+10n^2+5n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\|5n^4+10n^3+10n^2+5n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5\|5n^4+10n^3+10n^2+5n \end{eqnarray}$ wenn du verstehst, was ich meine... Deine Auffassung, dass man $\begin{eqnarray} \frac 16 n^4+\frac 13 n^3+\frac 13 n^2+\frac 16 n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ zeigen sollte, ist in diesem Sinn völlig verfehlt...
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