M1 Klausur

12.12.2009, 14:35

Bakatan

M1 Klausur

Ich wollte wissen, ob ich es denn alles noch kann und habe deshalb die heutige M1-Mathematik für Physiker Klausur mit geschrieben Big Laugh

Eventuelle leichte Änderungen der Zahlen in den Aufgaben sind möglich. Eventuell habe ich ein paar Aufgaben auch in ihrer Reihenfolge vertauscht. Anmerkungen folgen nach allen Aufgaben.

$\begin{eqnarray*} \text{Aufgabe 1:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Beweisen sie }\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k})=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}~\forall n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IV: }\prod_{k=0}^0(1+x^{2^k})=1+x=\frac{1-x²}{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IS: }\prod_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^k})=\left(\prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k})\right)\cdot (1+x^{2^{n+1}})\overset{\text{IV}}{=}\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\cdot (1+x^{2^{n+1}})=\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Aufgabe 2:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Berechnen sie die Grenzwerte der Folgen }x_n: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{a) }x_n:=\frac{(n+3)³}{5n³+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+3)³}{5n³+2}=\frac{n³+9n²+27n+27}{5n³+2}=\frac{1+\frac{9}{n}+\frac{27}{n²}+\frac{27}{n³}}{5+\frac{2}{n³}}\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b) }x_n:=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}}}+1}\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{c) }x_n:=2^{-n}+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}2^{-n}=0~\text{betrachte den anderen Term: }|\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}-0|=\frac{1}{\sqrt{n}}\overset{n\to\infty}{\rightarrow} 0\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}x_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Aufgabe 3:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{a) Zeigen sie, dass für }\alpha\in\mathbb N;~\alpha\geq2~\text{gilt: }\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^\alpha}\right)^n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<-\frac{1}{n^\alpha}<0~\text{und damit }1>\left(1-\frac{1}{n^\alpha}\right)^n\overset{\text{Bernoulli}}{\geq}1-\frac{1}{n^{\alpha -1}}\overset{n\to\infty}{\rightarrow}1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b) Bestimmen sie das Supremum und Infimum von }\bigcup_{k\in\mathbb N}\left(\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[2^{-k}+\left(1-\frac{1}{n^\alpha}\right)^n,~2^{-k}+1-\frac{1}{2n-1}\right]\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Siehe Anhang} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Aufgabe 4:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Bestimmen sie die Lösung der folgenden Gleichungen in }\mathbb Z\slash 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{a) }2X=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b) }X²=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{c) }4X²=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Sofort aus der Verknüpfungstafel zu erkennen: ( arrays schauen bei mir irgendwie immer gedehnt aus )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline\cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ \hline 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ \hline 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Aufgabe 5:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Kreuzen sie korrekte Aussagen an und geben sie bei falschen ein Gegenbeispiel} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{a) }f:\{x\in\mathbb R:x>0\}\to\mathbb R;~f(x)=x^5-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Die Funktion ist injektiv }\Rightarrow~\text{Ja, streng monoton steigend} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Die Funktion ist surjektiv }\Rightarrow~\text{Nein, }-5\in\mathbb R~\text{wird nicht erreicht} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b) Sei }(x_n)_{n\in\mathbb N}~\text{eine beschränkte Folge in }\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n~\text{ist konvergent, genau dann wenn es eine Cauchyfolge ist }\Rightarrow~\mathbb R~\text{ist vollständig, Cauchyfolgen sind konvergent} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n~\text{ist konvergent, genau dann wenn }\{x_n:n\in\mathbb N\}~\text{ein Maximum besitzt }\Rightarrow~\text{Nein, betrachte }x_n:=(-1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n~\text{ist genau dann konvergent, wenn }x_n~\text{monoton ist }\Rightarrow~\text{Nein, betrachte }x_n:=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

__________________________________________________________

Anmerkungen:
1) * Markiert Aufgaben, bei denen ich die Angabe nicht mehr ganz genau kenne. Mein Gedächtnis ist eben schlecht Big Laugh

edit: Es sollten jetzt alle Aufgaben so stimmen.
2) Bei Aufgabe 3b ist der Weg den ich genommen habe etwas länglich, da ich mir bei der Angabe nicht mehr vollkommen sicher bin kann ich diesen auch nicht wieder rekonstruieren. Abwarten, bis die Angabe irgendwo anders im Netz steht.
edit: Wie oben erwähnt, die Aufgabe stimmt jetzt. Eventuell stelle ich später noch die Lösung rein.
3) Ich habe eine Menge Zusatzanmerkungen weggelassen. Es steht eigentlich nur noch die Kernaussage bei jeder Aufgabe.
4) Da ich, wie man sich wohl denken kann, die Angabe nicht vor mir liegen habe, gibt es keine Garantie auf Korrektheit irgendwelcher Angaben. Ich bin jedoch der Meinung, alle bis auf die mit * markierten stimmen.
5) Dennoch kann es gut sein, dass ich mich irgendwo vertippt habe Big Laugh

Ein kleines Kommentar wäre nett Augenzwinkern

Ich wette, ich muss diesen Beitrag ein paar mal editieren, wenn ich die Angabe finde oder Tippfehler bemerke.

12.12.2009, 15:22

klarsoweit

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RE: M1 Klausur

Zitat:

Original von Bakatan
3) Ich habe eine Menge Zusatzanmerkungen weggelassen. Es steht eigentlich nur noch die Kernaussage bei jeder Aufgabe.

Du solltest wenigstens die Einschränkungen an alpha noch nennen.
Die Aufgaben 1 und 2 sind ok.

tigerbine: Da es so ausführlich ist, habe ich es einmal ins Klausurforum verschoben

12.12.2009, 17:50

Bakatan

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Ich denke, es war $\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ aber ich habe wie gesagt die Angabe gerade nicht da. Sollte aber so sein, sonst funktioniert weder der Rechenweg ( edit: Naja das $\begin{eqnarray*} \to 1 \end{eqnarray*}$ em ende klappt dann halt nicht mehr ) noch die Konvergenz gegen 1.

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