wohldefiniertheit zeigen um daraus zu folgern, dass eine stetigkeit bestehet

12.12.2009, 20:33

paull

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wohldefiniertheit zeigen um daraus zu folgern, dass eine stetigkeit bestehet

Die Funktion f : [a, b] -> reellezahlen sei stetig. Begr¨unden Sie, warum die Funktionen g, h: [a, b] -> Reellezahlen mit

g(x) = max f (t), t element aus [a,x]
und
h(x) = min f(t), t element aus [a,x]

wohldefiniert sind und zeigen Sie, dass sie stetig sind.

Hi, bei der Aufgabe denke ich, dass g und h teilmengen von f sind. wenn ich das noch per wohldefiniertheit beweise, müsste ich doch daraus folgern können, dass beide stetigsind, weil ihre "obermenge" stetig ist, oder?

andererseits, habe ich im heuser, da les ich gerade drin, den satz gefunden:

"sind die funktionen f und g auf X definiert und in * stetig, so sind auch die (auf X erklärten) Funktionen betrag von f, f^+, f^-, max(f,g) und min(f,g) in * stetig."

eventuell geht es also auch anders, oder nur anders, bin geradeetwas verwirrt.

könnt ihr mir ein bischen helfen? ich hab auch verschiedene bücher hier in denen ich gerade lese, vielleicht könnt ihr mir bestimmte seiten aus bestimmten ana1 büchern empfehlen

lg Paul

12.12.2009, 20:44

system-agent

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Du scheinst ziemlich verwirrt zu sein.
$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sind Funktionen, keine Mengen und schon garkeine Teilmengen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auch eine Funktion.
Ausserdem können Mengen nicht stetig sein, denn das können nur Funktionen.

Du solltest zunächst überlegen wieso in der Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ das Maximum oder Minimum sinnvoll ist.
Das heisst:
Kann die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Maximum annehmen?
Hinweis: $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist kompakt.

Um die Stetigkeit zu zeigen kannst du die Definition derselben nutzen.
Vielleicht habt ihr aber auch eine andere Schreibweise von Minimum und Maximum kennengelernt, als eine komische Summe mit Beträgen. Das würde einen ganz schnelle Stetigkeitsbeweis geben [Kompositionen stetiger Funktionen].

12.12.2009, 22:06

re Paull

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danke für die antwort. smile

smile

"Du solltest zunächst überlegen wieso in der Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ das Maximum oder Minimum sinnvoll ist.
Das heisst:
Kann die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Maximum annehmen?
Hinweis: $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist kompakt."

wenn sie kompakt ist, dann ja - zumindest laut der def. der kompaktheit (abgeschlosenheit und beschränktheit)
aber einfach eine funktion dazu ausdenken darf ich nicht, oder? (also um die kompaktheit zu zeigen)

wenn ich die wohl definiertheit zeigen will, muss ich doch eigendlich belegen, dass es eine abbildung zu f in R gibt, einmal für dass maximum und einmal für das minimum, richtig?

und wenn ich die kompacktheit zeige, heißt dass doch, dass ich eine funktion finden muss, die im intervall a,b liegt, und die abgeschlossen und beschränkt ist.

eine funktion könnte mir sicher einfallen, von dieser könnte ich dann auch beweisen, dass sie ein maximum und ein minimum hat, aber belegen dass sie abgeschlossen ist, könnte mir schwirigkeiten machen. kannst du mir sagen wie ich abgeschlossenheit beweise? lieg ich gerade mit meinen sonstigen überlegungen richtig?

13.12.2009, 13:37

system-agent

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Tut mir leid, was du schreibst ist vollkommen unverständlich für mich.

Nochmals:
Eine Funktion ist keine Menge. Eine Menge kann kompakt sein, eine Funktion nicht.

Du hast bereits eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nun hast du zwei weitere Funktionen gegeben [keine Mengen !!]:
$\begin{eqnarray*} g,h: [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir mal die erste Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .
Diese ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} g: [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\max\{f(t)\quad:\quad a\leq t\leq x\} \end{eqnarray*}$

Beachte: $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl, keine Menge oder derartiges.

Die Frage ist nun:
In die Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat man ein Maximum gestellt. Hat denn, für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$ , die Menge $\begin{eqnarray*} \{f(t)\quad:\quad a\leq t\leq x\} \end{eqnarray*}$ überhaupt ein Maximum? Wenn ja, wieso?
Diese Begründung zeigt dann, dass die Definition von der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch "gut" ist, das heisst $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert.

Ähnlich für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

13.12.2009, 14:05

paull

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danke für die hilfe, andere hätten vielleicht nicht mehr geantwortet ^^

" $\begin{eqnarray*} \{f(t)\quad:\quad a\leq t\leq x\} \end{eqnarray*}$ überhaupt ein Maximum? Wenn ja, wieso?"

\quad a\leq t\leq x\ -> folgt das maximum daraus nicht? oder, in dem fall dass das zu zeigen ist (man sieht ich bin ein bluter anfänger...), denke ich mir dann eine passende funktion aus, für die dass gilt?

13.12.2009, 15:43

system-agent

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Was willst du denn mit einer Extra Funktion? Du hast doch eine gegeben: nämlich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Nun nimmst du ein $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$ . Das ist nun im Folgenden fest.
Also betrachtest du die Menge $\begin{eqnarray*} [a,x] \end{eqnarray*}$ und das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über diese Menge.
Wieso existiert dieses?

Nochmal Hinweis:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig und das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,x] \end{eqnarray*}$ ist ... . Nun nutze einen Satz aus der Vorlesung: Eine stetige Funktion auf einem ... Intervall nimmt ... an.

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13.12.2009, 16:32

paull

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"jede stetige funktion f: k-> R auf einem kompaktum K nimmt ein maximum und ein minimum an, dh. es gibt *1 und *2 element K, so daß für alle x element K gilt: f(*2) größergleich f(x) größergleich f(*1)"

und

" eine menge K teilemente der komplexenzahlen heißt kompackt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist."

oder

"eine stetige funktion f: [a,b] -> R nimmt auf dem Intervall [a,b] jeden wert m kleinergleich y kleiner gleich y kleiner gleich M zwischen ihrem minimalwert m und ihrem maximalwert M an: es ist f ([a,b])=[m,M]."

daraus folgt, dass [a,b] kompackt ist und damit ein maximum und ein minimum besitzen muss - ich hab aber das gefühl, dass das nicht als argument reicht, oder?

13.12.2009, 18:12

system-agent

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Es wäre super wenn du versuchst den Formeleditor zu nutzen !

Ja, $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist kompakt, aber für ein festes $\begin{eqnarray*} x\in [a,b] \end{eqnarray*}$ ist genauso $\begin{eqnarray*} [a,x] \end{eqnarray*}$ kompakt [nach dem angegebenen Satz].
Weiter, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist es auch stetig auf $\begin{eqnarray*} [a,x] \end{eqnarray*}$ und damit hat die angegebene Menge ein Minimum und Maximum, das heisst die Definitionen der Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sind sinnvoll und wohldefiniert.

Hast du das denn nun wirklich verstanden oder nicht? Immer wird dir hier niemand die Lösung direkt so reinschreiben wie ich gerade... Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Nun zeige, dass sie stetig sind. Dazu brauchst du natürlich, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Übrigens, es heisst Kompakt und nicht Kompact.

13.12.2009, 18:49

paull

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danke, ich habs jetzt so verstanden, dass man aus den difinetionen folgert, dass die besagte/n menge/n kompakt sind und daraus dann den rest folgern kann

zu stetigkeit, stetigkeit habe ich bisher immer über die bijektivität zu den natürlichen zahlen bewiesen, ich hab so im gefühl, dass das jetzt nicht klappt.

da ich f stetig habe, und aus f stetig zu $\begin{eqnarray*} max f(t) \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} min f(t) \end{eqnarray*}$ stetig schließen kann, denk ich, dass es wieder reicht einen satz zu benutzen und nen kleinen text zu schreiben?

13.12.2009, 18:52

system-agent

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Zitat:

Original von paull

zu stetigkeit, stetigkeit habe ich bisher immer über die bijektivität zu den natürlichen zahlen bewiesen, ich hab so im gefühl, dass das jetzt nicht klappt.

Das musst du mal vorführen unglücklich

unglücklich

.

Weisst du überhaupt was Stetigkeit ist?
Hier würde ich es mal mit Epsilon-Delta versuchen.

13.12.2009, 19:38

paull

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$\begin{eqnarray*} alle Epsilon > Null,betrag(x-y) <Delta => betrag(f(x)-f(y)) < Epsilon \end{eqnarray*}$

das müsste ich jetzt für g,h zeigen, richtig?

das mit der bijektiven abbildung zu N war übrigens zu abzählbaren unendlichen folgen gemeint, ich vertausch gern dinge ^^

13.12.2009, 20:09

system-agent

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Zitat:

Original von paull
$\begin{eqnarray*} alle Epsilon > Null,betrag(x-y) <Delta => betrag(f(x)-f(y)) < Epsilon \end{eqnarray*}$

das müsste ich jetzt für g,h zeigen, richtig?

So in etwa, ja. Lies dir nochmals die genaue Definition durch. Am wichtigsten sind solche kleinen Wörtchen wie "für alle" und "existiert".

Zitat:

Original von paull
das mit der bijektiven abbildung zu N war übrigens zu abzählbaren unendlichen folgen gemeint, ich vertausch gern dinge ^^

In meinen Augen hat der Satz keinen Sinn.

13.12.2009, 20:30

paull

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edit: muss ich nochmal drüber nachdenken

13.12.2009, 21:11

paull

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ok, ich bin doof smile

smile

krieg ich nen weiteren tipp? ...ich hab keine idee, wie ich das anwenden könnte... krieg ich nen tipp auf ideoten nivau? ^^

14.12.2009, 08:39

fibo89

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hey pauli

weisst du was g,h mit "kompositionen stetiger fkt" (tipp von systemagent) zu tun haben??

14.12.2009, 12:52

annameyer

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stetigkeitsbeweis
Auch an der TU?!
Ich verstehe das mit den Kompositionen auch nicht. Inwieweit lassen sich denn g,h als Kompositionen darstellen bzw. was ist mit dieser"komischen definition" vom Maximum gemeint,die diesen Beweis total einfach machen wurde??

14.12.2009, 16:43

system-agent

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Edit:
Hier stand zuvor Unsinn. Tut mir leid.

Man muss die Stetigkeit von der Minimum und Maximumfunktion wohl doch von hand überprüfen.

14.12.2009, 17:22

bereniceberlin

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Stetigkeit "von Hand" überprüfen
@system-agent

Könntest du dazu vielleicht noch ein paar Hinweise geben?

14.12.2009, 21:09

paull

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RE: Stetigkeit "von Hand" überprüfen
ich glaube sehr viele von der TU brauchen noch mehr anregungen für die lösung, müssen alle morgen abgeben und nen paar brauchen noch nen paar pünktchen für die ha grenze der ersten sem hälfte, wer nett ^^

15.12.2009, 00:05

system-agent

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Ein im ersten Moment komischer Hinweis: nicht kompliziert denken Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Nehmen wir $\begin{eqnarray*} p\in [a,b] \end{eqnarray*}$ fest und $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ .
Man will ja $\begin{eqnarray*} |g(x)-g(p)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ zeigen wenn $\begin{eqnarray*} |x-p|<\delta \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ das wir noch wählen können.

$\begin{eqnarray*} |g(x)-g(p)|=|\text{max}\{f(t)\quad: a\leq t\leq x\}-\text{max}\{f(t)\quad: a\leq t\leq p\}| \end{eqnarray*}$
Nun könnte man zb eine kleine Fallunterscheidung
$\begin{eqnarray*} x\leq p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>p \end{eqnarray*}$ machen. Schliesslich braucht man, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bereits stetig ist.

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