Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3

13.12.2009, 12:21

Tarnfara

Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3

Hallo, die Frage ist vermutlich angesichts des hier disktuierten Stoffes für die meisten trivial, ich komme jedoch nicht weiter.

Erstmal die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \text{Es sei }\Phi \text{ ein Endomorphismus von } \mathbb R^3 \text{ mit den Bildern} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi ((2,1,0))=(2,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi ((1,1,0))=(2,1,1,) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi ((1,1,1))=(-2,-1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Geben Sie } \Phi(x,y,z) \text{ für beliebige Vektoren } (x,y,z) \in \mathbb R^3 \text{ an } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Bestimmen Sie Kern und Bild von } \Phi \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe geht noch was weiter, aber egal. Den ersten Teil habe ich - hoffentlich richtig- gelöst. Dabei komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \Phi ((x,y,z)) = (2x-4z, x-2z, y-z) \end{eqnarray*}$

Als nächstes habe ich den Kern bestimmt und dabei

$\begin{eqnarray*} Kern( \Phi ) = \{ (2b,b,b) \in \mathbb R^3 : b \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ erhalten. Da bin ich mir schon nicht mehr so sicher, ob das so in Ordnung ist. Für das Bild bin ich nun völlig aufgeschmissen, das sieht im Moment so aus:

$\begin{eqnarray*} Bild( \Phi) = \{ (2b,b,c) \in \mathbb R^3 : b=x-2z , c= y-z , \forall x,y,z \in \mathbb R \ \} \end{eqnarray*}$

Da ich in den folgenden Teilen eine mehr oder weniger explizite Darstellung des Bildes brauche (ich soll noch Summe und Schnitt von Kern und Bild, sowie deren Komplement (also der Summe und des Schnittes) ermitteln.

Für eine Erklärung wäre ich echt dankbar, auch wenn es vielleicht soo einfach ist, dass man sich fragt, wie jemand, das nicht wissen kann. Es ging ja in letzter Zeit immer mehr in die Richtung, aber wir besprechen diese Art Aufgaben in der Übung nicht, weil die "zu einfach" sind. unglücklich

Grüße

13.12.2009, 13:42

wisili

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3
Du hast dich (bloss) verrechnet:
(x,y,z) wird in (2y-4z, y-2z, 2y-x-z) abgebildet.
Der eindimensionale Kern wird dann von (3,2,1) aufgespannt
und das zweidimensionale Bild wie erwähnt von (2,1,0) und (0,0,1).

13.12.2009, 14:25

Tarnfara

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3

Zitat:

Original von wisili
Du hast dich (bloss) verrechnet:
(x,y,z) wird in (2y-4z, y-2z, 2y-x-z) abgebildet.
Der eindimensionale Kern wird dann von (3,2,1) aufgespannt
und das zweidimensionale Bild wie erwähnt von (2,1,0) und (0,0,1).

Entschuldige, ich habe mich nicht verrechnet, sondern oben die Aufgabenstellung falsch abgetippt. Tut mir leid, es müsste eigentlich

$\begin{eqnarray*} \Phi ((1,0,0)) = (2,1,0) \end{eqnarray*}$ heißen. unglücklich

SORRY.

Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} <br /> \Phi ((1,0,0)) = (2,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi ((0,1,0)) = \Phi ((-1,0,0) + (1,1,0)) = (-1) \Phi (1,0,0) + (2,1,1) = -1(2,1,0) + (2,1,1) = (0,0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi ((0,0,1)) = \Phi ((-1,-1,0) + (1,1,1)) = -1 \cdot \Phi ((1,1,0)) + \Phi ((1,1,1)) = -1 \cdot (2,1,1) + (-2,-1,0) = (-4,-2.-1) \end{eqnarray*}$

Damit ist dann

$\begin{eqnarray*} \Phi ((x,y,z)) = x \Phi ((1,0,0)) + y \Phi ((0,1,0)) + z \Phi ((0,0,1)) = x(2,1,0) +y(0,0,1) +z(-4,-2,-1) = (2x-4z,x-2z,y-z) \end{eqnarray*}$

Oder wo ist da der Fehler ?

13.12.2009, 15:47

wisili

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3
Dann stimmt ja wohl alles.
$\begin{eqnarray*} Bild( \Phi) = \{ (2b,b,c) \in \mathbb R^3: b,c \in \mathbb R \ \} \end{eqnarray*}$

13.12.2009, 17:19

Tarnfara

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3

Zitat:

Original von wisili
Dann stimmt ja wohl alles.
$\begin{eqnarray*} Bild( \Phi) = \{ (2b,b,c) \in \mathbb R^3: b,c \in \mathbb R \ \} \end{eqnarray*}$

Erhalte ich da wirklich alle in R möglichen Kombinationen ? In meiner Ausgangsmenge sind ja b und c noch immer von z abhängig. Falls ja, könntest du mir erklären, warum ? Da hakts beim Verständnis bei mir nämlich total.

Danke,

13.12.2009, 23:56

wisili

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3
Ja.
Kern und Bild (eines Homomorphismus) sind doch Unterräume, hier des $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$ :
Mit jedem Element sind auch die reellen Vielfachen mitdrin.
(1,0,0), (1,1,0) und (1,1,1,) sind linear unabhängig, spannen also den ganzen Raum auf.
Ihre Bilder (2,1,0), (2,1,1) und (-2,-1,0) sind dagegen abhängig (der dritte ist das entgegengesetzte des ersten).
Der Bildraum (eine Ebene) hat also die Basis (2,1,0), (2,1,1) (und weil man die Differenz betrachten kann)
auch die Basis (2,1,0), (0,0,1); ein beliebiges Element ist somit die Linearkombination b*(2,1,0)+c*(0,0,1).

14.12.2009, 08:09

Tarnfara

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3

Zitat:

Original von wisili
Ja.
Kern und Bild (eines Homomorphismus) sind doch Unterräume, hier des $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$ :
Mit jedem Element sind auch die reellen Vielfachen mitdrin.
(1,0,0), (1,1,0) und (1,1,1,) sind linear unabhängig, spannen also den ganzen Raum auf.
Ihre Bilder (2,1,0), (2,1,1) und (-2,-1,0) sind dagegen abhängig (der dritte ist das entgegengesetzte des ersten).
Der Bildraum (eine Ebene) hat also die Basis (2,1,0), (2,1,1) (und weil man die Differenz betrachten kann)
auch die Basis (2,1,0), (0,0,1); ein beliebiges Element ist somit die Linearkombination b*(2,1,0)+c*(0,0,1).

Verstehe ich dich richtig:

$\begin{eqnarray*} Bild (\Phi) = \Phi (\mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ ist Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Deswegen kann ich einfach die drei angegebenen Bilder betrachen, denn wäre der Endomorphismus durch diese drei nicht festgelegt (überprüfen ?), würde die Aufgabenstellung in der Form keinen Sinn machen. Da sich ein Bild als Summe der beiden anderen darstellen lässt, gilt

$\begin{eqnarray*} \Phi( \mathbb R^3) = \langle (2,1,0),(2,1,1) \rangle \end{eqnarray*}$

Und bezogen auf meine "Gleichung", ist es egal, dass b und c von z abhängen, weil ich y und x frei wählen darf, also sie mir stets passend machen kann, um einen beliebigen Skalar b oder c zu erhalten. ?

Vielen Dank,

14.12.2009, 09:39

wisili

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RE: Bild eines expliziten Endomorphismus im R^3
So ist es genau.

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