Abgeschlossenheit, Kompaktheit von Funktionenräumen

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Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit, Kompaktheit von Funktionenräumen
Hallo,

wir haben zwei Teilmengen des gegeben und sollen diese auf Beschränktheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit untersuchen:

,

.

Ich betrachte erstmal nur .
Die Menge ist erstmal beschränkt.

Ich weiß nun aber nicht so genau, was ich zeigen muss, um die Abgeschlossenheit oder die Kompaktheit zu zeigen.

Ich nehme an, dass für die Abgeschlossenheit gelten muss, dass offen sein muss.
Und dazu muss ich dann ja eine beliebige Funktion aus dem Komplement betrachten, und dann müsste es ja zu dieser Funktion einen -Schlauch geben, welcher vollständig in dem Komplement liegt, d.h es darf keine Funktion für beliebige durch diesen Schlauch gehen.
Dies ist natürlich nicht möglich (betrachte z.B. ).
Ist es das, was ich hier zeigen muss?

Und für die Kompaktheit:
Folgt diese direkt aus beschränkt und abgeschlossen, oder muss ich über Folgenkompaktheit gehen oder muss ich hier mit endlichen Teilüberdeckungen einer vollständigen Überdeckung arbeiten?
Ich weiß halt nicht, was von diesen Definitionen auch für Funktionenräume gilt.

Die gleichgradige Stetigkeit folgt dann aus der Umkehrung des Satzes von Arzela-Ascoli, oder?

Dankeschön.
LG Max.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeschlossenheit von hatten wir gerade gestern. Ich würde bei den meisten Fragen der Funktionalanalysis mit Folgen arbeiten.

Kompaktheit folgt nicht aus beschränkt und abgeschlossen! Das düfte sogar ein Gegenbeispiel sein.
Folgenkompaktheit darf man in allen metrischen und damit auch normierten Räumen äquivalent verweden.
Betrachte z.B. die Folge . Was sollte da eine konvergente Teilfolge sein?

Arzela-Ascoli funktioniert wohl. Ist aber ungewöhnlich das so zu benutzen. Da sollte man aufpassen.
Da steht ja sowas wie relativ kompakt genau dann, wenn A und B gelten. Nicht reativ kompakt impliziert also A oder B . Da nicht A gilt, folgt B.
 
 
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort! Freude

Ich hätte vorher mal im Board suchen sollen.

Aber ich hab noch ne Frage zu dem Beitrag von gestern.

Wenn wir von "konvergent" sprechen, meinen wir also immer gleichmäßig konvergent, oder wie?

Und konvergiert ja nur punktweise gegen und nicht gleichmäßig.

Dann gäbe es natürlich keine konvergente Teilfolge, denn jede Teilfolge hätte ja nur wieder diesen punktweisen Grenzwert.

Somit ist nicht folgenkompakt.
Allerdings hatten wir den Beweis der Äquivalenz zwischen Kompaktheit und Folgenkompaktheit nur unter der Bedingung geführt, dass Kompaktheit aus beschränkt und abgeschlossen folgt.
Dies gilt ja aber nun nicht mehr.
Folgt trotzdem aus folgenkompakt kompakt und umgekehrt?

Und auch zu der Abgeschlossenheit hab ich noch ne Frage.

Ihr habt ja gestern festgestellt, dass nur konvergente Folgen für die Abgeschlossenheit betrachtet werden müssen.
Da die einzige Folge hier nicht konvergent ist, gilt für jede konvergente Folge (welche nicht existiert), dass ihr Grenzwert in der Menge liegt.
Also abgeschlossen.

Richtig so?

Lg Max
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein bestimmter normierter Raum gegeben ist, spreche ich ohne dies weiter zu qualifizieren von "Konvergenz". Das mag Missverständnisse verursachen, ist aber konsistent. Man sagt doch auch, ein Raum ist vollständig, wen jede Cauchy-Folge konvergiert und nicht, wenn jede Cauchy-Folge bzgl. der Norm konvergiert.
Bei dem Beispiel war das ein bisschen blöd, da zusätzlich die punktweise Konvergenz, die aber mit dem Funktionenraum nichts zu tun hat, eine Rolle spielte.

Eigentlich zeigt man
kompakt folgenkompakt vollständig und total beschränkt kompakt.
Das funktioniert so in jedem metrischen Raum. Den Beweis sollte man in jedem guten Analysis Buch oder Skript finden.

Naja, es gibt doch noch andere Folgen
z.B.
Sogar konvergente:

Aber die konvergenten Folgen in habe eine gewisse Eigenschaft: Sie werden irgendwann konstant.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Aber die konvergenten Folgen in habe eine gewisse Eigenschaft: Sie werden irgendwann konstant.


Warum?
ist doch auch nicht konstant.

Langsam bin ich verwirrt. verwirrt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mit "sie" meinte ich die Folge. Und eine Folge ist doch konstant, wenn alle Folgenglieder gleich sind.
Wenn ich schreibe, dann meine ich damit die Folge und die ist konstant.

Mit "wird konstant" meinte ich, dass für ein konstant ist.
z.B.

Ah ja, mit meine ich manchmal die Folge und nicht das n-te Folgenglied.
Das ist mir zu umständlich immer zu schreiben.
Das ist aber im Kontext klar, was gerade gemeint ist.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ich verstehe.

Konvergent sind in also alle die Folgen, die gilt:

.

Deren Grenzwert ist dann ja gerade eine belibeige Funktion .
Damit ist abgeschlossen.

Weil es Folgen in gibt, welche keine konvergente Teilfolge besitzen, z.B. , ist nicht kompakt.

Wäre nun noch gleichgradig stetig (beschränkt ist ja), dann wäre nach Arzela-Ascoli kompakt. Da dies nicht der Fall ist, kann nicht gleichgradig stetig sein.

Passt das so?

Danke für deine Hilfe.
Ich hoffe, ich komme nun mit selbst klar.

Schönen Abend.
LG Max.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich hab auch bei der 2. noch Schwierigkeiten.

Also erstmal ist auch diese Menge beschränkt, da der Sinus stets zwischen 0 und 1 liegt.

Ich denke auch, dass die Menge kompakt ist.

Meine Überlegungen dazu:

Zunächst kann man o.B.d.A. festlegen (wegen der Periodizität des Sinus).

Sei nun Folge in mit obigem .

Fall 1: Ein Folgenglied erscheint unendlich oft. Dann gibt es natürlich eine konvergente Teilfolge.

Fall 2: Jedes Folgenglied erscheint nur endlich oft. Nun will ich hier wie beim Satz von Bolzano-Weierstraß argumentieren. Allerdings hab ich dabei Probleme, eine monotone Teilfolge zu beschreiben, denn auf dem Intervall gibt es nun Sinus-Funktionen, die andere schneiden.

Hier ein Mathematica-Plot-Befehl, der das veranschaulicht:

k = 10;
Show[{Table[
Plot[Sin[x + (n*2*Pi)/k], {x, 0, 1}, AxesOrigin -> {0, 0},
PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic], {n, 0, k, 0.4}],
Plot[Sin[x], {x, 0, 1}, PlotStyle -> {Red}, AxesOrigin -> {0, 0},
PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic]}]

Und nun frag ich mich, ob meine Vermutung überhaupt noch stimmt und wenn ja, wie ich hier am besten argumentieren kann.

Kann mir nochmal jemand helfen?

Danke.
LG Max.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schon hilfreich, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Menge überhaupt kompakt ist. Vlt bin ich ja die ganze Zeit auf dem Holzweg...
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich glaub schon, dass man Bolzano-Weierstraß anwenden kann.
Sei eine Folge in . Konstriere die Hilfsfolge .
Kann man sich halt jeweils aussuchen, ob oder , hauptsache kompakt.
Ohne etwas noch zeigen zu müssen gibt es nach B-W eine konvergente Teilfolge
Nun muss man sich noch überlegen, dass in konvergiert.
Da der Mittelwertsatz

liefert, sollte das aber so sein.

Abgeschlossen bekommt dann geschenkt, da kompakt und normiert.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Naja wenn Bolzano-Weierstraß anwendbar ist, dann müsste man ja zu jeder Folge eine monotone Teilfolge finden können. Hier ist mein Problem, denn mir gelingt es nicht, eine solche monotone Folge zu konstruieren.

Zitat:
Nun muss man sich noch überlegen, dass in konvergiert.

Na dies folgt doch einfach aus der Tatsache, dass , oder?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Um das klarzustellen:
Die Hilfsfolge soll jedem das zugehörige zuweisen.
Wenn konvergiert, sagt das noch nichts über die Konvergenz von aus.

Ich weiß nicht wozu du eine monotone Folge in brauchst. Ich würde einfach die Kompaktheit von ausnutzen.
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