Vereinigung, Durchschnitt und Komplement von Untervektorräumen

13.12.2009, 16:14

Nuit Blanche

Vereinigung, Durchschnitt und Komplement von Untervektorräumen

Hi Leute,
in Lineare Algebra I haben wir das Thema "Vektorräume" behandelt und dort bereitet mir das Kapitel über den Durschnitt, die Summe und das Komplement von Untervektorräumen große Sorgen.
Wir haben keine konkrete Methode gelernt, wie man dies berechnen kann, die Matrizenschreibweise haben wir zudem auch noch nicht eingeführt, und weder mein Prof noch mein Übungsgruppenleiter können es dem Kurs angemessen erklären.

Eine Beispielaufgabe wäre folgende:
Im |R-Vektorraum V = |R³ seien Unterräume U1 und U2 gegeben durch:

U1 = < (1, 0, 1), (0, 1, -1) > = { a (1, 0, 1) + b (0, 1, -1) | a, b aus |R }

U2 = < (1, 0, -1), (0, 1, 1) > = { a (1, 0, -1) + b (0, 1, 1) | a, b aus |R }

Gesucht: U1 geschnitten mit U2, U1 + U2
Komplement von U = U1, U2, U1 geschnitten U2, U1 + U2

Ich wäre euch überaus dankbar, wenn ihr mir helfen könntet. Ihr seid wohl meine letzte Hoffnung, denn am Donnerstag wird über dieses Thema ein Testat geschrieben.

13.12.2009, 18:58

jester.

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Ich denke, was $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ ist, "sieht" man hier recht einfach.

Benutze dann die (hoffentlich bekannte) Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} \dim (U+W)=\dim U + \dim W -\dim (U\cap W) \end{eqnarray*}$ , um die Dimension des Schnitts zu bestimmen.
Suche dann durch geschicktes Hinsehen eine Basis des Schnitts zusammen.

Du hast hier eine recht einfach Konstellation von Vektorräumen. Für komplizierte Fälle kann ich den (offenbar ziemlich unbekannten) Zassenhaus-Algorithmus empfehlen: KLICK

13.12.2009, 19:55

Nuit Blanche 2

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Hi jester.,
ich danke, dir erst einmal für die schnelle Antwort.
Ich vergaß zu erwähnen, dass wir weder die Dimensionsformel noch den Zassenhaus-Algorithmus eingeführt haben, und wie das in der Uni so ist, darf man weder auf Übungsblättern noch in Testaten Sachen verwendet, die noch nicht in der Vorlesung eingeführt wurden, leider....
Und das mit der Summe leuchtet mir noch immer nicht ganz ein. Wären dann zwei Vektoren die Lösung von U1 + U2?

13.12.2009, 20:08

jester.

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Nein. Betrachte mal einfach die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1 \\ 1&0&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und wende den Gauß-Algorithmus darauf an. Dann siehst du ja schon, welchen Raum diese Vektoren erzeugen.

Die Dimensionsformel wäre hier ein elegantes Mittel gewesen, um sich die Bestimmung des Schnitts zu erleichtern. Aber man kann auch durch systematisches Überlegen herausfinden, dass der Schnitt 1-dimensional ist. Den passenden erzeugenden Vektor findest du bestimmt.

14.12.2009, 17:02

Tarnfara

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Zitat:

Original von Nuit Blanche 2
Hi jester.,
ich danke, dir erst einmal für die schnelle Antwort.
Ich vergaß zu erwähnen, dass wir weder die Dimensionsformel noch den Zassenhaus-Algorithmus eingeführt haben, und wie das in der Uni so ist, darf man weder auf Übungsblättern noch in Testaten Sachen verwendet, die noch nicht in der Vorlesung eingeführt wurden, leider....
Und das mit der Summe leuchtet mir noch immer nicht ganz ein. Wären dann zwei Vektoren die Lösung von U1 + U2?

Hallo, ich wüsste echt gerne, wer du bist, offenbar sitzen wir im selben Linakurs^^

Zur Frage:
$\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 = K(1, 0, 1) + K(0, 1, -1) + K (1, 0, -1) + K (0, 1, 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \langle(1,0,1),(0,1,-1),(1,0,-1),(0,1,1)\rangle \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal "stumpfes Einsetzen". Dass wir die Dimensionsformel noch nicht kennen, hindert dich ja nicht daran, sie im Geiste einfach trotzdem zu benutzen. Soll heißen, wenn U1 + U2 von 4 Vektoren erzeugt wird, wir uns aber im R3 aufhalten, dann ist sofort klar, dass mindestens einer der Vektoren da oben überflüssig ist oder anders gesagt, mindestens ein Vektor ist linear abhängig von den anderen dreien.

In der Schule solltest du gelernt haben, dass zwei Ebenen (die beide durch den Nullpunkt gehen und daher nicht parallel sein können), die nicht identisch sind, den gesamten Raum aufspannen. Wie auch immer du auf die Idee nun kommst, dass U1 + U2 der komplette Raum sein müsste, ist unerheblich, denn egal, was du da vermutest, du musst es ja beweisen.

Das heißt, setze vor die vier Vektoren irgendwelche Skalare, so dass du nacheinander $\begin{eqnarray*} (1,0,0), (0,1,0) \text{ und } (0,0,1) \end{eqnarray*}$ "erzeugst". Gelingt dir das, hast du einen Beweis, dass die Summe der gesamte Raum ist (warum?)

Mir ist klar, dass die Antwort ebenso unbefriedigend ist, wie die von Übungsleiter und/oder Prof, aber da uns die notwendigen Mittel für krisensichere Kochrezepte fehlen, kann ich an dieser Stelle keine bessere Erklärung liefern. Die Aufgaben in den Übungszetteln und im Testat sowieso werden aber garantiert so einfach sein, dass man mit dem "scharfen Hinsehen" zum Ziel kommt.

Um dich nicht hoffnungslos auf einem Irrweg zu verlaufen, kannst du im Hinterkopf ja die Dimensionsformel behalten, wie du auf deine Lösung gekommen ist, ist egal, wichtig ist nur, dass du beweisen kannst, das sie stimmt.

Grüße

21.12.2009, 18:26

Nuit Blanche

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@jester.: Ich habe das nun allmählich verstanden. Genau dies kam auch in unserem Test am Donnerstag dran.^^
Danke dir vielmals. smile

@Tranfara: Wäre möglich, wenn du auch bei Klüners hast... Augenzwinkern

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