4 Wände mit 5 Farben streichen

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joko Auf diesen Beitrag antworten »
4 Wände mit 5 Farben streichen
Hoi,

wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man die 4 Wände eines Zimmers mit 5 verschiedenen Farben streicht, aber an jeder Zimmerecke verschiedene Farben aufeinander treffen sollen.

Dabei komme ich gerade nicht so ganz weiter.

mfg
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 4 Wände mit 5 Farben streichen
Ich nehme noch an, dass jede Wand nur mit einer Farbe bemalt wird.
Ich nehme ausserdem noch an, dass Boden und Decke nicht bemalt werden (weil unerwähnt).
Ich nehme deshalb auch an, dass in den Ecken nur die beiden Wände verschiedene Farben haben müssen.
Ich nehme an, dass das Zimmer (z.B. durch den Eingang) individualisierte Wände hat
(sodass es nicht drehsymmetrisch ist).
Dann gibt es 260 Möglichkeiten.
joko2 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie rechnet man aus, dass es 260 Möglichkeiten gibt?
Das wirklich Interessante in diesem Fall ist ja die Rechnung und dafür fehlt mir momentan ein Ansatz.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichfarbige Wände sind nur gegenüber zulässig,
also links und rechts und/oder vorne und hinten.
Es gibt also 4 Fälle separat zu behandeln:

Fall 1: Alle Farben sind verschieden. Anzahl der Möglichkeiten: 5*4*3*2 = 120
Fall 2: Nur links/rechts gleiche Farben. Anzahl der Möglichkeiten: 5*4*3 = 60
Fall 3: Nur vorne/hinten gleiche Farben. Anzahl der Möglichkeiten: 5*4*3 = 60
Fall 4: Nur zwei Farben. Anzahl der Möglichkeiten: 5*4 = 20

Summe 260
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Anders strukturiert kommt man mit zwei Fällen aus:

Fall 1: Links und rechts dieselbe Farbe - Anzahl 5*1*4*4 = 80
Fall 2: Links und rechts unterschiedliche Farbe - Anzahl 5*4*3*3 = 180

Natürlich auch Summe 260.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist klar besser, wobei ich die Fallunterscheidung jetzt nicht von Anfang an, sondern erst zum spätestens möglichen Zeitpunkt machen würde...

Konkret: Man stellt sich vor, dass man die Wände etwa im Gegenuhrzeigersinn abgeht, und hat dann für die 1.Wand noch alle 5 Möglichkeiten, für die 2. Wand 4 Möglichkeiten, während sich sich dann für die 3. Wand die Frage stellt, ob man eine Farbe wählt, die schon da war (was dann nur die Farbe der 1.Wand sein kann) oder eine der verbleibenden 3 neuen Farben, was die Anzahl der Wahlmöglichkeiten für die letzte Wand dann auf 4 bzw. 3 einschränkt... Man kommt daher mit der Berechnung von 5*4*(1*4+3*3) wieder auf die Gesamtzahl 260 an Möglichkeiten (aber immerhin mit zwei Multiplikationen weniger Augenzwinkern )...
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Abrundung mal auch noch ein komplizierterer Weg, der aber gewissermaßen "systematischer" vorgeht, und zwar über die Siebformel: Sei

... Anzahl Färbungen, wo Wand und dieselbe Farbe haben

(dabei entspricht Wand 5 = Wand 1). Dann ist die gesuchte Anzahl gleich

.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Man kommt daher mit der Berechnung von 5*4*(1*4+3*3) wieder auf die Gesamtzahl 260


Noch «besser» wäre demzufolge 20*13 = 260.
Wieso werden hier didaktische Erwägungen qualifiziert?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Zitat:
Original von Mystic
Man kommt daher mit der Berechnung von 5*4*(1*4+3*3) wieder auf die Gesamtzahl 260


Noch «besser» wäre demzufolge 20*13 = 260.
Wieso werden hier didaktische Erwägungen qualifiziert?


Hm, verstehe jetzt nicht was du meinst... Die Aufschlüsselung in 5*4*(1*4+3*3) habe ich ja extra zu dem Zweck vorgenommen, damit man nachvollziehen kann, wie ich auf die 260 komme und nicht aus "Jux und Tollerei"... In diesem Sinne ist 20*13 =260 jedenfalls keine Verbesserung...

Des weiteren habe ich keine "didaktischen Erwägungen qualifiziert", schon deshalb nicht, weil ich ja nicht wußte, dass didaktische Erwägungen bei deinem Lösungsvorschlag so eine grosse Rolle gespielt haben... Wobei ich glaube, dass ganz allgemein da nicht so eine große Kluft besteht zwischen "didaktisch" und "rein mathematisch" guten Lösungen und diese Aufgabe scheint mir da keine Ausnahme zu sein...
joko2 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank an die ganzen guten Lösungswege.
Melde mich erst so spät wieder, weil mir, nachdem ich die Lösung von 260 wusste, nach einigem rumprobieren, während einer langweiligen Bahnfahrt, der Lösungsweg, den Arthur Dent gepostet hat, auch eingefallen ist.
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