sinus cosinus mit e-Funktion

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lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
sinus cosinus mit e-Funktion
Hi, brauche einen kleinen Schubs bei folgender Aufgabe:

Welche Formeln ergeben sich für cos(nx) und sin(nx) aus der Identität:

(e^ix)^n=e^(inx) x aus R und n aus N

durch Trennung von Imaginärteil und Realteil

Drücken sie cos(x)^3 durch cos(3x) und cos(x) aus
und cos(x)^4 durch cos(4x) und cos(2x) aus


ich bin eigentlich schon ziemlich weit bei der aufgabe:

es gitl ja: cos(x)= Re(e^ix) und sin(x)=Im(e^ix)

und auch

e^inx=cos(nx)+ i sin(nx)
und
e^inx=(cos(x)+ i sin(x))^n

dann kann man ja mithilfe des binomischen Lehrsatzes ne Summenformel aufstellen und diese ausrechnen.
Dann sieht man schnell, dass man die Summenglieder ordnen kann nach Teilen ohne i und Teilen mit i.

wenn man dann versucht diese beiden Teile wieder als Summen darzustellen, bekommst man:



so von da müsste ich dann jetzt irgendwie auch cos(nx)=Re(e^inx) und sin(nx)=Im(e^inx) kommen.

Ich sehe aber leider nicht wie...

Der Tipp bei der Aufgabe war nämlich folgender:

wenn man cos(x)^n mit cos(nx) ausdrücken kann, dann weiß man auch was bei cos(x)^3 und cos(x)^4 zu tun ist...

so hoffe jemand gibt mir den benötigten Schubs in die richtige Richtung...

LG Lili
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Spielen wir das mal an durch, dazu vergleichen wir die Imaginärteile:



Führe das nun auch analog für den Realteil durch. Bei der 4. Potenz erhalten wir auf diese Weise z.B..



Das Ziel ist es, nicht die gemischten sin- und cos-Glieder stehen zu lassen, sondern die Funktion des mehrfachen Argumentes in der gleichen Winkelfunktion, also z.B. cos(nx) nur in cos(x)-Funktionen auszudrücken.
Eine Gesetzmäßigkeit für die Koeffizienten in dieser Hinsicht, die man allgemein auf n-te Potenzen ausdehnen könnte, ist mir allerdings nicht bekannt.

mY+
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