sinus cosinus mit e-Funktion |
14.12.2009, 16:21 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » |
sinus cosinus mit e-Funktion Welche Formeln ergeben sich für cos(nx) und sin(nx) aus der Identität: (e^ix)^n=e^(inx) x aus R und n aus N durch Trennung von Imaginärteil und Realteil Drücken sie cos(x)^3 durch cos(3x) und cos(x) aus und cos(x)^4 durch cos(4x) und cos(2x) aus ich bin eigentlich schon ziemlich weit bei der aufgabe: es gitl ja: cos(x)= Re(e^ix) und sin(x)=Im(e^ix) und auch e^inx=cos(nx)+ i sin(nx) und e^inx=(cos(x)+ i sin(x))^n dann kann man ja mithilfe des binomischen Lehrsatzes ne Summenformel aufstellen und diese ausrechnen. Dann sieht man schnell, dass man die Summenglieder ordnen kann nach Teilen ohne i und Teilen mit i. wenn man dann versucht diese beiden Teile wieder als Summen darzustellen, bekommst man: so von da müsste ich dann jetzt irgendwie auch cos(nx)=Re(e^inx) und sin(nx)=Im(e^inx) kommen. Ich sehe aber leider nicht wie... Der Tipp bei der Aufgabe war nämlich folgender: wenn man cos(x)^n mit cos(nx) ausdrücken kann, dann weiß man auch was bei cos(x)^3 und cos(x)^4 zu tun ist... so hoffe jemand gibt mir den benötigten Schubs in die richtige Richtung... LG Lili |
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15.12.2009, 02:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Spielen wir das mal an durch, dazu vergleichen wir die Imaginärteile: Führe das nun auch analog für den Realteil durch. Bei der 4. Potenz erhalten wir auf diese Weise z.B.. Das Ziel ist es, nicht die gemischten sin- und cos-Glieder stehen zu lassen, sondern die Funktion des mehrfachen Argumentes in der gleichen Winkelfunktion, also z.B. cos(nx) nur in cos(x)-Funktionen auszudrücken. Eine Gesetzmäßigkeit für die Koeffizienten in dieser Hinsicht, die man allgemein auf n-te Potenzen ausdehnen könnte, ist mir allerdings nicht bekannt. mY+ |
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