Matrizen: Verständnisfrage

16.12.2009, 12:33

matthieufrisch

Matrizen: Verständnisfrage

Edit (mY+): Überschrift modifiziert. Der Titel soll das Thema treffend kennzeichnen!

Hallo miteinander Wink

,
Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Verständnisfragen beantworten.
1) wenn man einen Matrix A in Zeilenstufenform bringen will, dann geht das ja mit dem Gauß algoritmus. Jetzt meint mein Tutor dass diese elementaren Zeilenumformungen die man macht um A in Zeilenstufenform zu bringen nichts anderes sind, als die Multiplikation der Matrix A von links mit Elementarmatrizen? Könnt ihr mir das vielleicht erklären. Kann mir darunter nämlich rein garnichts vorstellen.
2) Angenommen man hat eine von einer 6 x 4 Matrix induzierte lineare Abbildung k von $\begin{eqnarray*} IR^6 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} IR^4 \end{eqnarray*}$ . Wie kann man dann eine Basis von im(k) und von ker(k) berechnen? Nimmt man dann x beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4\\x_5\\x_6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziert den mit der 6x4 Matrix und überlegt sich wie man den durch die Standardbais des $\begin{eqnarray*} IR^4 \end{eqnarray*}$ darstellen kann?

16.12.2009, 13:57

ele5559

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Bin selber Anfänger und kann dir nur bei 1.) helfen: smile

Elementarmatritzen sind solche, die quasi durch eine Umformung aus der Einheitsmatrix entstanden sind und sie stellen eine bestimmte Rechnung dar:
oder so, schwer zu beschreiben...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist also die Multiplikation der zweiten Zeile mal 2...

wenn man jetzt eine beliebige Matrix von links mit dieser Elementarmatrix multipliziert, dann kommt als Ergebnis genau das gleiche raus, wie wenn man mit die entsprechende Zeilenoperation direkt auf die Matrix anwendet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -4 & 4 & 2 \\ 5 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

LG Ele

16.12.2009, 19:30

matthieufrisch

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Vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen smile

17.12.2009, 00:56

El_Snyder

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RE: Matrizen: Verständnisfrage

Zitat:

Original von matthieufrisch
Wie kann man dann eine Basis von im(k) und von ker(k) berechnen?

Wie sind denn Kern und Bild einer Abbildung definiert?

17.12.2009, 21:16

matthieufrisch

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Naja der Kern ist doch definiert als der Lösungsraum der Gleichung Ax=0 ? Man muss prüfen welche v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V auf Null abgebildet werden.

17.12.2009, 21:29

El_Snyder

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Zitat:

Original von matthieufrisch
Naja der Kern ist doch definiert als der Lösungsraum der Gleichung Ax=0 ? Man muss prüfen welche v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V auf Null abgebildet werden.

Genau, und dieser Lösungsraum ist ein Untervektorraum des Definitionsraumes der Abbildung, d.h. er wird von Basisvektoren aufgespannt (wenn dim(ker) > 0). Die kannst du doch jetzt anhand der Lösungen von Ax=0 bestimmen?

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