Basenbestimmung

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Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
Basenbestimmung
Hallo!

Verzweifele im Moment ziemlich an einer Aufgabe unglücklich
Also: Gegeben sei die lineare Abbildung


mit

Bestimme Basen des und des , sodass

Habe schon daran herumgerechnet und bin mal auf folgendes gekommen: Zum Beispiel würde gut passen, nur v_1 und v_2 machen mir da ziemlich Probleme, da sie ja voneinander linear unabh. sein müssen und trotzdem den kern aufspannen. Habt ihr vielleicht einen kleinen Tipp?

Vielen Dank schonmal!
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Kern einer Abbildung?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern ist . Nur als 2 Vektoren kann ich das ja nicht darstellen, oder? Denn wenn ich jetzt für den span schreibe, wäre es ja nur der kern, wenn . Oder ist das davon unabhängig und bereits mögliche Vektoren?
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf diesen Kern? Du bildest vom R² in den R³ ab..

edit: Oder hast du dich am Anfang vertippt? der Matrix und Aufgabenstellung nach müsstest du eigentlich doch andersherum abbilden..
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so stands wirklich auf meinem Zettel - haber aber gerade nachgeschaut und es ist eine korrigierte Version online, vom R^3 in den R^2.
Stimmt es dann?
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann stimmt zumindest die Anzahl der Komponenten deiner Vektoren. Die Dimension des Kerns ist aber 2, d.h. er wird auch durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt. Deine Lösung stimmt leider nicht, wie bist du darauf gekommen?
 
 
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich habe die Matrix in Zeilenstufenform gebracht - dabei fällt die zweite zeile ja raus. Und dann habe ich das System 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0, was eben für die vielfachen von (1,1,-1) passt...dachte ich jedenfalls.
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullzeile bedeutet, dass neben x3 auch x2 frei wählbar ist. x1 ist das allerdings nicht! Deine Matrix sieht am Ende so aus:



Die zweite Nullzeile musst du nicht unbedingt hinschreiben, die ist jetzt nur zur Verdeutlichung da. Dass die Lösungsvektoren aus dem R³ sind ergibt sich daraus, dass sie einen Unterraum des Definitionsraumes bilden, und der ist nunmal der R³. Anhand der Matrix erkennst du jetzt, dass du x2 und x3 frei wählen darfst.

Du kannst z.B. und setzen. Dann ergibt sich



Als Lösungsmenge kannst du das dann so zusammenfassen:



Das ist der Kern der Abbildung, alle diese Vektoren werden auf den Nullvektor abgebildet. Eine Basis kannst du jetzt leicht angeben indem du einfach für u und t irgendwas einsetzt Augenzwinkern
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh okay dankeschön, das hilft mir auf jeden Fall weiter smile
Bleistift23 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie willst du jetzt weiter w´ bestimmen? Das brauchst du doch auch noch für deine zweite Basis.
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