homomorphe Bilder

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18.12.2009, 16:31	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
homomorphe Bilder Hallo Ich will alle homomorphen Bilder der Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z^{}_{15} \end{eqnarray*}$ bestimmen, abgesehen von den isomorphen. Also ich kenne die Elemente der Gruppe und auch alle Untergruppen. Ich weiß auch, dass ich irgendwie glaube ich alle Faktorgruppen bzgl. der Untergruppen bestimmen muss und dass ein homomorphes Bild so definiert ist: G,H Gruppen, f: G->H Homomorphismus, und wenn f(G) eine Gruppe ist, ist das ein homomorphes Bild. Stimmt das so? Ich weiß allerdings jetzt überhaupt nicht wie ich das praktisch etwas bestimmen kann. Kann mir da vielleicht jemand etwas helfen?
18.12.2009, 17:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi :G \to H \end{eqnarray}$ ist ein Normalteiler $\begin{eqnarray} N<G \end{eqnarray}$ , umgekehrt ist jeder Normalteiler $\begin{eqnarray} N<G \end{eqnarray}$ Kern des kanonischen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi : G\to G/N, a\to \overline a=aN \end{eqnarray}$ . Das Bild $\begin{eqnarray} im(\varphi)=\varphi (G) \end{eqnarray}$ ist stets eine Gruppe, und nach dem Homomorphiesatz ist $\begin{eqnarray} G/ker\varphi\cong im(\varphi) \end{eqnarray}$ Also hast du alle homorphen Bilder einer Gruppe bestimmt, wenn du alle Faktorgruppen nach Normalteilern kennst. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Dem Hasse-Diagramm von $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z_{15}^ \end{eqnarray*}$ kannst du direkt ansehen, welche homomorphen Bilder existieren und welche Gruppen diese darstellen.
18.12.2009, 18:09	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Es ist mir schon etwas klarer geworden. Also muss ich doch alle Faktorgruppen nach jeder Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb Z^_{15} \end{eqnarray*}$ bilden. Allerdings muss ich das ganze ohne das Hasse- Diagramm machen. Und ich verstehe nicht so richtig wie ich das jetzt konkret bei einer Untergruppe mache.
18.12.2009, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich mach ein Beispiel. G hat die Ordnung 8, Z4<G hat die Ordnung 4, also hat G/Z4 die Ordnung 8/4=2. Es gibt nur eine Gruppe der Ordnung 2, nämlich die Z2. Beispiel fertig, total konkret. Das Hasse-Diagramm hilft hier, alle Untergruppen, also alle Normalteiler zu finden, nach denen man faktorisiert.
18.12.2009, 19:45	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb Z^_{15} \end{eqnarray}$ kenne ich alle. Zum Beispiel wäre eine $\begin{eqnarray} \{\overline 1, \overline 2, \overline 4, \overline 8\} \end{eqnarray}$ . Und jetzt muss ich die Ordnungen betrachten. Also $\begin{eqnarray} \mathbb Z^_{15} \end{eqnarray}$ hat die Ordnung 8 und $\begin{eqnarray} \{\overline 1, \overline 2, \overline 4, \overline 8\} \end{eqnarray}$ hat die Ordnung 4. 8/4=2. Woher weiß ich jetzt dass es nur eine Gruppe (ist das dann die Faktorgruppe zu dieser Untergruppe?) mit Ordnung 2 gibt? Kann ich das an den Ordnungen der Elemente ablesen? Wäre die Gruppe (bzw. Faktorgruppe) dann $\begin{eqnarray} \{\overline 1, \overline 4\} \end{eqnarray}$ ? ich muss das Ganze halt irgendwie versuchen ohne das Hasse Diagramm hinzubekommen.
18.12.2009, 20:28	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Z15 als additive Gruppe hat 15 Elemente; ihre echten Untergruppen haben somit Ordnung 3 oder 5. Z15* soll die Ordnung 8 haben?
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19.12.2009, 10:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@wisili : ja, $\begin{eqnarray} \varphi(15)=\varphi(3)\cdot\varphi(5)=2\cdot 4=8 \end{eqnarray}$ (Euler'sche $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion) @Lea : Eine Faktorgruppe $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ ist eine Gruppe von Nebenklassen $\begin{eqnarray} aN \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ zum Beispiel : $\begin{eqnarray} G/\{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\}=\{\overline1\cdot \{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\},\overline7\cdot \{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\}\}=\{\{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\},\{\overline7,\overline{14},\overline{13},\overline{11}\}\} \end{eqnarray}$ Ein Element $\begin{eqnarray} 1\neq a\in Z, ord(Z)=2 \end{eqnarray}$ muß die Ordnung $\begin{eqnarray} ord(a)=2 \end{eqnarray}$ haben, erzeugt also die Gruppe $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} Z\cong Z_2 \end{eqnarray}$ isomorph zur zyklischenGruppe der Ordnung 2.
19.12.2009, 10:25	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Was ist denn Z15* für eine GRUPPE? Ich verstehe den Stern offenbar anders.
19.12.2009, 10:41	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jeden Ring R mit Einselement bildet die Menge der invertierbare Elemente eine Gruppe, welche oft mit R* bezeichnet wird... Hier geht es speziell um den Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{15} \end{eqnarray}$ ...
19.12.2009, 11:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. (R,x) heißt auch "Einheitengruppe" des Rings (R,+,x) . Wir reden vom Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{15}=\mathbb Z/ 15\cdot \mathbb Z \end{eqnarray}$ und seiner Einheitengruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ , nicht von der zyklischen Gruppe Z15 der Ordnung 15.
19.12.2009, 13:43	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube jetzt habe ichs verstanden (hoffentlich ) Also habe das jetzt so verstanden: Da ich die isomorphen weglassen soll, kann mein a also nur die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Z^_{15} \end{eqnarray}$ sein die nicht die Ordnung 2 haben. Also bleiben $\begin{eqnarray} \overline1,\overline2,\overline,\overline8,\overline13 \end{eqnarray}$ für a. Diese muss ich in allen Kombinationen mit $\begin{eqnarray} \{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\} \end{eqnarray}$ mulitplizieren. Also immer nach dem Muster $\begin{eqnarray} \{\overline1\cdot \{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\},\overline7\cdot \{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\}\} \end{eqnarray*}$ und dann habe ich die Faktorgruppen zu dieser Untergruppe. Hoffe das ist verständlich ausgedrückt stimmt das? Und genauso müsste ich das mit den anderen Untergruppen machen oder?
19.12.2009, 15:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist nahe dran, es ist sogar noch etwas einfacher. Multiplizierst du einen Normalteiler N (hier also eine beliebige Untergruppe, da G abelsch) mit allen Elementen a aus G, so erhältst du alle Nebenklassen aN. Diese Nebenklassen sind nicht alle verschieden, aber gleichmächtig, und ihre disjunkte Vereinigung enthält alle Elemente von G. Die Nebenklassen bilden eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe G/N. Im Beispiel hat N 4 Elemente, also genügen 2 Nebenklassen (1N und 7N), um alle 8 Elemente aus G zu erhalten.
20.12.2009, 14:29	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh Danke. Habe noch 2 kleine Fragen: Dann wäre also z.B. die Faktorgruppe bzgl meiner Untergruppe $\begin{eqnarray} \{\overline1, \overline 4\} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} = \{\{\overline 1,\overline 4\}, \{\overline 2, \overline 8\},\{\overline 7, \overline 13\},\{\overline 11,\overline 14\}\} \end{eqnarray}$ Wäre das dann eines meiner homomorphen Bilder? Und die 2. Frage: Ich sollte doch die dazu isomorphen weglassen? Sind die dann schon nicht mehr dabei wenn ich so vorgehe wie in diesem Beispiel?
20.12.2009, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Fast richtig", eine Faktorgruppe ist $\begin{eqnarray} G/\{\overline1, \overline 4\}= \{\{\overline 1,\overline 4\}, \{\overline 2, \overline 8\},\{\overline 7, \overline 13\},\{\overline 11,\overline 14\}\} \end{eqnarray}$ . Das ist dann eines der homomorphen Bilder. Genau so kannst du die Faktorgruppen $\begin{eqnarray} G/\{\overline1, \overline 11\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G/\{\overline1, \overline 14\} \end{eqnarray}$ berechnen. Weil diese 3 Normalteiler jeweils die Ordnung 2 haben, haben die Faktorgruppen die Ordnung 4. 2 dieser 3 Faktorgruppen sind isomorph, eine hat eine andere Struktur. Du mußt noch herausfinden, welche (abelschen) Gruppen der Ordnung 4 hier auftreten, und dann kannst du eine von ihnen weglassen. Übrigens haben alle 3 Faktorgruppen nach den 3 Normalteilern der Ordnung 4 die Ordnung 2, sind also alle 3 isomorph zur Z2. (Hinweis: Schau dir noch mal das Hasse-Diagramm an, das mußt du nicht benutzen, aber es zeigt sehr schön sowohl die Untergruppen als auch die Faktorgruppen.)
20.12.2009, 19:03	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Elvis Weil diese 3 Normalteiler jeweils die Ordnung 2 haben, haben die Faktorgruppen die Ordnung 4. 2 dieser 3 Faktorgruppen sind isomorph, eine hat eine andere Struktur. Du mußt noch herausfinden, welche (abelschen) Gruppen der Ordnung 4 hier auftreten, und dann kannst du eine von ihnen weglassen. Übrigens haben alle 3 Faktorgruppen nach den 3 Normalteilern der Ordnung 4 die Ordnung 2, sind also alle 3 isomorph zur Z2. [\quote] Also konnte jetzt alle Faktorgruppen bestimmen, aber wie ich herausfinde welche davon isomorph sind verstehe ich irgendqwie nicht. [quote]Original von Elvis Übrigens haben alle 3 Faktorgruppen nach den 3 Normalteilern der Ordnung 4 die Ordnung 2, sind also alle 3 isomorph zur Z2. [\quote] zu was müssen die Faktrogruppen denn isomorph sein damit ich sie weglassen kann? Hätte ich dann zu garkeine Faktorgruppen nach den 3 Normalteilern der Ordnung 4?
20.12.2009, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen können zu einander isomorph sein. Alle 3 Faktorgruppen nach Normalteilern der Ordnung 4 haben die Ordnung 2. Es gibt, bis auf Isomorphie, nur eine Gruppe der Ordnung 2, nämlich die Z2. Also sind die 3 Faktorgruppen der Ordnung 2 zur Z2 und zu einander isomorph. Ergebnis : Ein homomorphes Bild ist die Z2. Das Ergebnis für die 3 Faktorgruppen der Ordnung 4 ist nicht ganz so einfach. Wenn du willst, erkläre ich dir das Ergebnis (anhand des Hasse-Diagramms )
20.12.2009, 19:29	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das wäre nett. Vielleicht wirds mir dann ja klar. Das Hasse Diagramm mit den Untergruppen kenne ich ja. Kann allerdings nicht wirjklich viel bzgl der Faktorgruppen damit anfangen.
20.12.2009, 19:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann bin ich doch mal nett, damit wir diese sehr interessante und lehrreiche Aufgabe noch vor Weihnachten fertig bekommen. Oben links im Hasse-Diagramm haben wir G,Z4,Z4,D2,Z2={1,4} ,also ist {1,4} Untergruppe der 3 Untergruppen der Ordnung 4. G/{1,4} ist eine Faktorgruppe der Ordnung 4 und sieht ( im Hasse-Diagramm ! ) genau so aus wie eine Kleinsche Vierergruppe V4. Die beiden anderen Z2 Untergruppen sind Untergruppen der D2. Zwischen ihnen und der Gruppe G liegt genau die D2, das ist das Hasse-Diagramm einer Z4. Ergebnis : G/{1,4} = V4 , G/{1,11} = Z4 , G/{1,14} = Z4 . Eine Z4 genügt, die andere dazu isomorphe Faktorgruppe kannst du weglassen. Ohne Hasse-Diagramm geht das bestimmt auch, das ist dann eine längere Rechnerei mit Nebenklassen von Untergruppen von Restklassen in G. Das ist bestimmt langweilig, und es kommt genau das raus, was wir jetzt schon wissen. Kochrezept für Faktorgruppen G/N : Man lässt im Hasse-Diagramm alles weg, worin N nicht als Untergruppe enthalten ist.
20.12.2009, 20:52	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Also habe ich nur 3 isomorphe Bilder und zwar: $\begin{eqnarray} G/\{\overline1,\overline2,\overline4,\overline8\} \end{eqnarray}$ , G/{1,4} und G/{1,11} stimmt das? Könnte ich noch einen Tipp bekommen wie ich dasdurch längere ERechnerei herausbekommen kann? Interessiert mich jtzt doch. Vielleicht kann man es ja irgendwie allgemein sagen. Würde das gerne mal ausprobieren auch wenns langweilig ist ;-) Wenn man es nicht so einfach sagen kann ist es auch ok, bin wiirklich sehr dankbar für die geduldige Hilfe bis jetzt! Danke.
22.12.2009, 17:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ganz genau zu sein, gibt es 5 isomorphe Bilder von $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z_{15}^ \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} G/G \cong \{1\}, G/\{1\} \cong G \end{eqnarray}$ trivialerweise richtig für jede Gruppe. Die anderen 3 Isomorphietypen hast du richtig erkannt. Wenn man alle Untergruppen $\begin{eqnarray} U<G \end{eqnarray}$ kennt, und insbesondere die Normalteiler $\begin{eqnarray} N<G \end{eqnarray}$ , dann bildet man alle Faktorgruppen $\begin{eqnarray} G/N=\{aN\|a\in G\} \end{eqnarray}$ . Das ist alles. Danach mit diesen Elementen aN weiterrechnen, ist beliebig kompliziert. Wenn man schon alle Untergruppen und Normalteiler kennt, ist es einfach natürlich, den Untergruppenverband zu zeichnen. Weil Normalteiler die {1} in G/N sind, funktioniert das "Kochrezept". Machen wir das Beispiel G/{1,4}={1{1,4},2{1,4},7{1,4},11{1,4}}={{1,4},{2,8},{7,13},{11,14}} . Man rechnet in Faktorgruppen immer (aN)(bN)=(ab)N , jetzt kann man wieder anfangen, die Ordnungen der Elemente zu bestimmen, und man sieht (2N)(2N)=4N=N (7N)^2=(7N)(7N)=49N=4N=N (11N)^2=(11N)*(11N)=121N=1N=N also hat man 3 Elemente der Ordnung 2 in einer Gruppe der Ordnung 4. Das kann nur die D2=V4 sein. Genau so findest du sicher in G/{1,11} ein Element der Ordnung 4, das ist also die Z4.
23.12.2009, 14:37	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank. Habe alles nachgerechnet und es passt alles so. Jetzt habe ich glaube ich den Durchblick. Frohe Weihnachten. Gruß Lea

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