Eukl. Algo. mit Ringelementen

18.12.2009, 20:34	Maulwürf	Auf diesen Beitrag antworten »
Eukl. Algo. mit Ringelementen Hi, ich habe an einer Stelle Probleme bei folgender Aufgabe: Berechne mit Hilfe des eukl. Algo. den ggT von $\begin{eqnarray} 8+21i\sqrt2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 74-10i\sqrt2 \end{eqnarray}$ und stelle ihn in der Form $\begin{eqnarray} z(8+21i\sqrt2)+w(74-10i\sqrt2) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z,w \in \mathbb Z[\sqrt-2] \end{eqnarray}$ dar. Sooo, dann fängt es an: $\begin{eqnarray} \frac{74-10i\sqrt2}{8+21i\sqrt2}=\frac{1}{946}(172-1634i\sqrt2) \end{eqnarray}$ Dieser Schritt ist mir noch klar, wie man hier drauf kommt. Dann kommt in der Lösung aber folgendes: $\begin{eqnarray} q_1=0+2i\sqrt2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_3=a_1-q_1a_2=74-10i\sqrt2+2i\sqrt2(8+21i\sqrt2)=-10+6i\sqrt2 \end{eqnarray}$ Das einzige was ich wirklich nicht raffe ist, wie sie das $\begin{eqnarray} q_1 \end{eqnarray}$ bestimmen :<
18.12.2009, 23:31	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eukl. Algo. mit Ringelementen $\begin{eqnarray} q_1 \end{eqnarray}$ ist einfach der zum Quotienten q der Division im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ nächstgelegene "Gitterpunkt"... Mit Gitterpunkten meine ich natürlich die Zahlen $\begin{eqnarray} a+b\sqrt-2,\quad a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$
19.12.2009, 10:31	Maulwürf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, und woran sieht man, dass es gerade dieser Punkt ist?
19.12.2009, 11:07	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, sehe gerade bei der Überprüfung, dass du aufs Kürzen vergessen hast, wiewohl das hier eigentlich keine Rolle spielt... Jedenfalls ist $\begin{eqnarray} \frac {74-10 \sqrt 2 i}{8+21 \sqrt 2 i}=\frac 2{11}-\frac{19}{11}\sqrt2 i \end{eqnarray}$ Um auf den nächsten Gitterpunkt zu kommen, müssen daher die ganzzahligen Rundungen $\begin{eqnarray} \frac 2{11} \rightarrow 0,\quad -\frac {19}{11} \rightarrow -2 \end{eqnarray}$ durchgeführt werden... Insofern hast du zu allem Überfluss auch noch einen Vorzeichenfehler eingebaut... Edit: Anscheinend ist es ein Abschreibfehler, denn in der weiteren Rechnung wird plötzlich mit dem richtigen Vorzeichen weitergerechnet...
19.12.2009, 16:51	Maulwürf	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das quasi so deuten, als wären diese Zahlen in Gaußklammern geschrieben?
19.12.2009, 17:42	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn es wird ja prinzipiell auf die nächste ganzen Zahl (nach oben oder unten) gerundet, wodurch im Gegensatz zur Gaußklammer die Abweichung vom ursprünglichen Wert höchstes 0.5 beträgt... Ist übrigens genau so, wie sich der "kleine Max" eine Division in Ringen der Form $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt D] \end{eqnarray}$ vorstellt... Zuerst den Quotienten in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ bestimmen und dann einfach den nächsten Gitterpunkt dazu suchen... Eigentlich einfach unglaublich, dass dies so funktioniert, aber leider halt nur für D=-2,-1,2,3 ...
Anzeige

19.12.2009, 19:16	Maulwürf	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, nun habe ich es fast verstanden, bleibt nur noch ein Fall für mich zu klären... Im nächsten Schritt kommt die Rechnung: $\begin{eqnarray} \frac{8+21i\sqrt2}{-10+6i\sqrt2}=\frac{172}{172}-\frac{258}{172}i\sqrt2=1-1,5i\sqrt2 \end{eqnarray}$ Nun geht ja 1 -> 1 und laut Lösung muss -1,5 -> -1 gehen. Malt man es sich ins Gitter auf, dann ist der Abstand ja auch zu -1 und -2 gleich. Muss man sich dann merken, dass man zur nächst größeren Zahl geht?
19.12.2009, 21:11	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kommst auf jeden Fall ans Ziel, wenn du irgendeine der 2 Möglichkeiten hier nimmst...Im vorliegenden Fall haben die resultierenden Reste für die beiden Quotientenmöglichkeiten dann sogar die gleiche Norm, ob das immer so ist, weiss ich allerdings nicht...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »