multiplikative Gruppe n= primzahl

19.12.2009, 19:41

jbmes

multiplikative Gruppe n= primzahl

hallo liebes Forum,
leider komme ich bei diese Aufgabenstellung nicht weiter.

Zeigen Sie das
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{n} , ohne 0,\cdot ) \end{eqnarray*}$ , genau dann eine Gruppe ist, wenn n eine Primzahl ist .
Die Operation $\begin{eqnarray*} (\cdot ) \end{eqnarray*}$ bezeichnet übliche multiplikation mod n.

versteh ich das erstmal richtig ?

prim = prim $\begin{eqnarray*} (\cdot ) \end{eqnarray*}$ prim mod n

Die einzelnen Schritte wie ich eine Gruppe beweise habe ich schon gefunden
1. beweis gruppoid
2. Halbgruppe
3.Monoid
4.Gruppe

leider finde ich kein Anfang um die Schritte zu einer gruppe durch zu führen.

19.12.2009, 20:01

jbmes

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weiter habe ich folgende Aussage gefunden

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{n} = {k\in \mathbb Z_{n} |ggt(k,n)=1} \end{eqnarray*}$

hiermit definiere ich ja alles primzahlen, aber leider weis ich noch nicht weiter

19.12.2009, 22:54

wisili

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RE: multiplikative Gruppe n= primzahl
Der Umfang dessen, was du zeigen musst, hängt davon ab, ob die Ringeigenschaften
bekannt sind und verwendet werden dürfen und ob das Wissen vorausgesetzt werden darf,
dass $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb Z_{n},+, \cdot \right) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist.

Wenn das alles zutrifft, ist eigentlich nur noch die Existenz der Inversen nachzuweisen.

20.12.2009, 10:51

Elvis

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Die Aussage ist , dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_n \backslash \{ \overline 0 \},\cdot) \end{eqnarray*}$ genau dann eine Gruppe ist, wenn n Primzahl ist.
Für n Primzahl ist die Existenz des Inversen zu zeigen. Für n nicht Primzahl ist zu zeigen, dass nicht zu jedem Element ein Inverses existiert.

Nachweis der Gruppeneigenschaften für eine Menge G:
Für alle a,b in G ist ab in G (Abgeschlossenheit)
Für alle a,b,c in G ist a(bc)=(ab)c (Assoziativität)
Es gibt ein e in G , für alle a in G ist ea=ae=a (Neutrales Element)
Für alle a in G gibt es ein b in G mit ab=ba=e (Inverses zu a)

20.12.2009, 11:05

Elvis

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Zitat:

Original von jbmes
weiter habe ich folgende Aussage gefunden

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{n} = {k\in \mathbb Z_{n} |ggt(k,n)=1} \end{eqnarray*}$

hiermit definiere ich ja alles primzahlen, aber leider weis ich noch nicht weiter

Das stimmt so nicht .
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n = \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist mit der Addition und Multiplikation modulo n ein Ring.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ ist seine Einheitengruppe, das ist die Gruppe der invertierbaren Elemente.
Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \{k\cdot n\mathbb Z|ggT(k,n)=1\} \end{eqnarray*}$ , was genau für Primzahlen n mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \mathbb Z_n \backslash \{0 \cdot n\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

20.12.2009, 11:08

Elvis

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Zitat:

Original von jbmes
hiermit definiere ich ja alles primzahlen, aber leider weis ich noch nicht weiter

Das ist auch völlig falsch.
ggT(4,15)=1 , aber weder 4 noch 15 ist eine Primzahl.

20.12.2009, 12:28

jbmes

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Hallo Elvis :-),,

erstmal vielen danke für deine Antworten! leider tue ich mich sehr schwer und vieles verstehe ich erst nachdem mir das oft erst bis ins kleinste erklärt wurde.

dein letzter Beitrag leuchtet mir vollkommen ein!

Zitat:

Das ist auch völlig falsch. ggT(4,15)=1 , aber weder 4 noch 15 ist eine Primzahl.

Zitat:

Das stimmt so nicht . $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n = \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist mit der Addition und Multiplikation modulo n ein Ring. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ ist seine Einheitengruppe, das ist die Gruppe der invertierbaren Elemente. Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \{k\cdot n\mathbb Z|ggT(k,n)=1\} \end{eqnarray*}$ , was genau für Primzahlen n mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \mathbb Z_n \backslash \{0 \cdot n\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ übereinstimmt

1) Ein Ring definiert eine Mege mit einer Operation. verstanden
2) Die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. an sich verstanden

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \{k\cdot n\mathbb Z|ggT(k,n)=1\} \end{eqnarray*}$ , was genau für Primzahlen n mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* = \mathbb Z_n \backslash \{0 \cdot n\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

leider kann ich dies noch nicht nach vollziehen. komme mir schon so dumm vor , weil es immer noch nicht klick gemacht hat.

20.12.2009, 13:10

Elvis

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Mach dir nichts draus, das ist kompliziert.

"Ein Ring definiert eine Menge mit einer Operation" ist auch falsch. unglücklich

Ein Ring (R,+,*) ist eine Menge R mit zwei inneren Verknüpfungen "Addition" +:RxR->R und "Multiplikation" *:RxR->R (mit geeigneten Regeln !).
Seine Einheitengruppe (R*,*) ist die Gruppe der invertierbaren Elemente von R (für Ringe mit Einselement, sonst leere Menge).

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ habe ich überhaupt nichts bewiesen, das ist deine Sache. Ich habe nur aufgeschrieben, was ich weiß. Es kann nicht "klick" machen. Du mußt dir den Beweis erarbeiten.

20.12.2009, 13:37

Mystic

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Zunächst einmal ist die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} k \cdot n \mathbb Z \end{eqnarray*}$

falsch, denn die Restklassen werden ja bez. + gebildet, d.h.,

$\begin{eqnarray*} k + n \mathbb Z \end{eqnarray*}$

wäre richtig... Es ist aber sehr üblich, dafür nur kurz $\begin{eqnarray*} \bar k \end{eqnarray*}$ (oder noch kürzer, aber dann schon etwas unexakt, k) zu schreiben...

Des weiteren gibt es zwei entscheidende Ideen bei der ganzen Sache... Die eine ist, dass eine nichttriviale Faktorisierung von n, also

$\begin{eqnarray*} n = k \cdot l, \quad k,l \in \{2,3,\ldots,n-1\} \end{eqnarray*}$

auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \bar k \cdot \bar l = \bar 0 \end{eqnarray*}$

führen würde, aus der man dann ableiten kann (nämlich wie?), dass z.B. $\begin{eqnarray*} \bar k \end{eqnarray*}$ kein Inverses besitzen kann...

Ist umgekehrt n eine Primzahl so ist jedes k mit 0<k<n dann zu n teilerfremd (das besagt ja genau die Definition einer Primzahl!) und man kann dann (z.B. mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus) eine Darstellung xk+yn=1 für gewisse ganze Zahlen x und y finden... Damit sollte klar sein, wie es weiter geht..

20.12.2009, 16:05

jbmes

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hello again,

ich habe schon mit den erweiterten Euklid inverse berechnet, durch den gut beschriebenen algorithmus ist das auch nicht weiter schwer.

folgendes habe ich als beweis gefunden:

p ist prim
a = $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2,...p-1}

nach Euklid
es gilt ggt(a,p)=1

damit gibt es c,d $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ca +dp =1

also
1 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ca mod p $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ d mod p *a mod p =(c mod p)*a

wobei a mod p =a woraus man schließen kann c mod p ist das inverse zu a

mir fehlt leider immer noch etwas verständnis dabei dewn beweis zu verstehen bzw. weis ich nicht ob das als beweis reicht.

LG jb

20.12.2009, 17:46

Mystic

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Zitat:

Original von jbmes
also
1 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ca mod p $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ d mod p *a mod p =(c mod p)*a

Von dieser Zeile ist mir nur der Anfang und dann wieder das Ende klar, aber was da zwischendurch abgeht, schaut für mich absolut wirr aus und ich weiss auch nicht wozu das gut sein soll... Insofern hab ich da auch Verständnisprobleme...

Aber eigentlich hab ich eh schon viel mehr an Hinweisen gegeben, als nach dem Boardprinzip erlaubt ist, sodass ich meine Aufgabe hier als erfüllt ansehe..

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