Billardtisch

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Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »
Billardtisch
Die folgende Aufgabe zur Knobelei für zwischendurch:

Gegeben sind zwei Billardkugeln A und B und eine Bande des dazugehörigen Billardtisches. Ein Punkt P liegt auf der Bande.

Wann ist die Verbindung |AP| + |PB| minimal? Beweise!

Viel Spaß mit dieser kleinen Aufgabe Augenzwinkern Es gibt hunderte davon in ähnlicher Weise!
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

wird die entfehrnung vom mittelpunkt der kugeln aus gemessen?

ich würde sagen wenn die kugfeln hintereinander an der bande liegen, etwa so:

code:
1:
2:
3:
 |
·|oo
 |


den beweis müsste ich mir erstmal ausdenken, geht bestimmt über extremwertberechnung.
 
 
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

So meinte ich das nicht. Ich möchte mal kurz eine ASCII - Akizze zum Besten geben, die das Problem doch deutlicher machen sollte:

----------------------------P---------------------------------



******O(A)



*************************O(B)

(Bitte denkt euch die * weg, da es sonst nicht anders ging!)

P ist der Punkt an der Bande! A und B die beiden Kugeln. Ich schließe jetzt noch aus, dass A und B kollinear zum Lot auf der Bande durch den Punkt P liegen!

Die Kugeln A und B liegen fix! Es kann nur der Punkt P an der Bande verschoben werden!
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

also ist hier eine allgemeine Lösung gesucht, oder?
Läuft das über Vektoren? Ich vermute mal, dass man es mit Vektoren oder mit Dreiecken lösen könnte.
Aber ich hab im Moment echt keine Zeit für das Augenzwinkern

mfg
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr wohl allgemein:

"Wann ist die Verbindung |AP|+|PB| minimal?"

Da A und B fix sind, bleibt also P zu untersuchen!

Allgemein noch etwas - es ist Geometrie, aber auch hier gibt es wie fast bei jedem Problem mehrere Beweismethoden. Greift in den Topf und sucht euch eine heraus Augenzwinkern
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ganz spontan: kann ich da was mit nem kreis zusammenbasteln? Big Laugh

das rätsel hat was. werds mir auf jeden fall zu gemüte führen, sobald ich zeit hab. :P
rie- Auf diesen Beitrag antworten »
bla
dachte mir ich schau auch mal auf dem board hier vorbei wenns schon im channel angepriesen wird und da seh ich unsern mathefreak schon wieder fleißig am werk...

einfallswinkel=ausfallswinkel, mehr sag ich hier mal nicht

rie-

op @ #mathe
jama Auf diesen Beitrag antworten »

nicht nur das Augenzwinkern

Willkommen hier
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich grüße dich Thomas,

dein kleiner Kommentar beruht natürlich auf der Wahrheit, wie auch sonst. Aber wie heißt es so schön - "Was zu beweisen wäre!"

Ich halte mich noch zurück smile
rie- Auf diesen Beitrag antworten »

naja wenn ich gleich alles verraten soll,

spiegelt man einen der beiden Punkte (z.B. B) an der Geraden auf der P liegen soll erhält man B'
Natürlich gilt |AP|+|PB|=|AP|+|PB'| für alle P.
Die kürzeste Verbindung zwischen A und B' ist natürlich eine Gerade und daraus folgt sofort das bekannte Einfallswinkel=Ausfallswinkel.
(Man kann sich das ganze auch von der Physik her vorstellen: ein Lichstrahl nimmt stets den schnellst möglichen Weg von A nach B auch wenn es über eine "Nebenbedingung" (hier Spiegelung) geht, daher auch die bekannte Lichtreflexion mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel im Idealfall. Das ganze heißt Fermat'sches Prinzip wenn ich mich recht erinnere)

rie-
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre aber garnicht mal schlecht wenn du dich richtig anmelden würdest anstatt immer als gast zu posten Augenzwinkern
aber danke für deine mitarbeit hier im Matheboard Willkommen @rie-
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo rie,

deine Antwort ist natürlich richtig, aber die "Dreiecksungleichung" als Ergänzung sei hier angemerkt. Man kann ja nicht alles für "offensichtlich voraussetzen" Big Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hab gar nicht bemerkt, dass das gelöst ist Augenzwinkern
Ich hab mir in Paris dazu ein paar Gedanken machen wollen, aber ein Kumpel hat das dann gelöst, bevor ich was zu schreiben hatte Augenzwinkern

Ich hab das jetzt einfach noch ein bisschen abgeändert, um es einfacher zu erklären.

Wir machen ein Dreieck.
Das erste Dreieck geht von Punkt A senkrecht zur Bande und von dort zum gesuchten Punkt P und von da wieder zu A.
Das zweite Dreieck geht von B senkrecht auf die Bande und von dort zum Punkt P und wieder zu B

Nennen wir die beiden Punkte auf der Bande A' und B'

AA' : A'P = BB' : B'P

umgeformt heisst das:
AA' : BB' = A'P : B'P

jetzt hat man das Verhältnis in welchem der Punkt P die Strecke A'B' teilt...
dann kann man den Punkt so auch konstruieren Big Laugh

ist aber nicht so schön, wie die andere Lösung

mfg
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