kurvenschar nullstellenberechnung

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10.06.2004, 15:40	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
kurvenschar nullstellenberechnung Hallo, nachdem ihr mir in den Osterferien schon mal auf die Sprünge geholften habt, hoffe ich sehr, dass ihr das diesmal auch hinbekommt. Vorgestern haben wir mit Kurvenscharen und Parametern begonnen. Dummerweise schreiben wir Anfang nächster Woche darüber schon eine Klausur und ich versteh´s nicht. Also, jetzt mal ein Beispiel. fa(x) = x^2-2ax+1 Hier sollen jetzt die Nullstellen besimmt werden. Das hab ich auch noch hinbekommen. Die Nullstellen liegen bei x=a+Wurzel aus a^2-1 (sorry, kann das nicht besser aufschreiben) v x=a-Wurzel aus a^2-1 Aber irgendwie geht das ja jetzt noch weiter mit der Bestimmung wann es wieviele Nullstellen gibt. Weiss vielleicht jemand, wie ich das angehen muss? Viele Grüße nina12
10.06.2004, 15:48	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurvenschar nullstellenberechnung ... wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist gibts gar keine, ist er Null gibts nur 'Eine', sonst 2 ...
10.06.2004, 15:53	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoi, immer wenn Du einen Parameter hast, musst Du eine Fallunterscheidung machen (so haben wir es gelernt): Die Diskriminante gibt ja an, wieviele Nullstellen es gibt, d.h. wenn sie größer, kleiner oder gleich 0 ist. Jetzt musst Du einfach rausrechnen für welche a die Diskriminante größer, kleiner oder gleich 0 wird. Schon hast Du die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a.
10.06.2004, 15:55	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurvenschar nullstellenberechnung "... wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist gibts gar keine," ... das leuchtet mir noch ein, aus einem negativen Term kann ich keine Wurzel ziehen, oder? "ist er Null gibts nur 'Eine'," ... warum? " sonst 2" ... versteh nur noch Bahnhof! Äh, zu allem überfluss muss ich dass auch noch irgendwie "mathematisch korrekt" aufschreiben. HILFFFEEEE!
10.06.2004, 15:56	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
"Jetzt musst Du einfach rausrechnen für welche a die Diskriminante größer, kleiner oder gleich 0 wird. Schon hast Du die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a." Genau das ist mein Problem. Wie mach ich das?
10.06.2004, 16:00	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, so wie ich das sehe hast Du mit der p/q Formel gearbeitet: D.h.: $\begin{align} a \pm \sqrt {a^2 - 1} \end{align}$ Der Ausdruck unter der Wurzel ist jetzt das problematische, ihn wollen wir untersuchen: D.h.: $\begin{align} a^2 - 1 = 0 => a^2 = 1 => a = 1 \end{align}$ - das heisst für a = 1 wird die Diskriminante 0, d.h. eine Nullstelle. Jetzt weiter: $\begin{align} a^2 - 1 > 0 => a^2 > 1 => a > 1 \end{align}$ - das heisst für a > 1 wird der Ausdruck größer als 0, d.h. zwei Nullstellen. Eigentlich müsste ich es ergänzen für $\begin{align} ]-\infty;-1[ \end{align}$ , aber da ja gilt $\begin{align} a^2 > 0 \forall a \in \calR \end{align}$ erledigt sich das wohl....kommt drauf an obs über Intervall geschrieben werden soll oder nicht... Jetzt versuchs mal mit dem Kriterium für keine Nullstelle selbst.
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10.06.2004, 16:01	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kleine Frage zusätlich: Ist es richtig, dass diese Kurvenschar keine Wendestellen besitzt, weil die 3. Ableitung nicht ungleich Null ist?
10.06.2004, 16:02	Lapskaus	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn der wert unter der wurzel 0 wird, hast du da ja a+0 bzw a-0 ( sind aber ja beide = a) als nullstelle raus , also nur eine einzige NUlsstelle .Wenn der wert unter der wurzel > 0 ist, dann gibt es 2 Nullstellen, da du ja x=a+Wurzel aus a^2-1 UND x=a-Wurzel aus a^2-1 als nullstellen angeben musst
10.06.2004, 16:15	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also, wenn ich mir alle eure Antworten zusammen anschaue, versteh ich´s glaube so gaanz langsam. Aber halt eben nur ganz langsam und irgendwie noch nicht so hundertprozentig. Gnu, keine Nullstelle hab ich wahrscheinlich dann, wenn der Wert unter der Wurzel negativ wird, also a<1 ist, oder?
10.06.2004, 16:26	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt... Zusammenfassend: $\begin{align} f_a(x) \end{align}$ hat zwei Nullstellen im Bereich $\begin{align} ]-\infty;-1[ & ]1;+\infty[ \end{align}$ , eine Nullstelle für $\begin{align} a = 1 & a = -1 \end{align}$ und keine Nullstellen im Bereich von $\begin{align} ]1;1[ \end{align}$ Klar geworden, wenn nicht frag einfach nochmal nach. Edit: Hab leider die Codes für und bzw. oder nicht da, daher hab ichs mit & gemacht...
10.06.2004, 16:34	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
So richtig klar ist das irgendwie noch nicht zumal wir mit dem Unendlichzeichen noch gar nicht gearbeitet haben. Suche eher eine ganz "primitive" Lösung, hoffe aber, dass ich mir das dank eurer Antworten jetzt selbst zurecht basteln kann. Erstmal tausend Dank! Nina
10.06.2004, 21:46	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
...fünf Stunden später hab ich´s jetzt glaube doch verstanden. Und um meinen Erfolg ein bisschen zu festigen, wollte ich noch eine Übungsaufgabe rechnen. Und schon steh ich wieder vor einem neuen Problem. Hier die Aufgabe: Gegeben ist für x ist Element von R und a ist Element von R die Kurvenschar fa:x -> x^3 - 3ax^2 + 3x + 3a Gesucht sind die Nullstellen. Der Ansatz wäre doch dann x^3 - 3ax^2 + 3x + 3a=0 Un nu???????????????????? Wenn ich jetzt anfange auszuklammern, erhalte ich írgendwelche Terme mit denen ich nicht weiterkomme. Kann mir vielleicht noch mal irgendjemand einen Tipp geben - wenn´s geht unter Verwendung der quadratischen Ergänzungen, falls man die überhaupt braucht . Wäre echt lieb, bin leicht am verzweifeln Viele Grüße Nina
10.06.2004, 22:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist nichts mit quadratischer Ergänzung, denn es ist ja eine kubische Gleichung. Eigentlich müsstet ihr in der Schule besprochen haben wie man das löst. Eigentlich hilft da nur raten. Oder du machst es mit einem Näherungsverfahren, aber mit quadratischer Ergänzung geht da nichts, denn die Gleichung ist ja nicht quadratisch.
10.06.2004, 22:16	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mathespezialschüler, also was mich absolut stört ist das a. Deshalb weiss ich auch nicht, wie ich da mit Probieren weiterkommen soll. Wie ganz oben schon geschrieben, wir haben das in dieser Woche erst im Schnelldurchgang durchgenommen und Dienstag steht schon die Matheklausur an. Wie kann ich denn mit Probieren weiterkommen, wenn ein Parameter vorhanden ist? Kannst du mir vielleicht mal den Ansatz verraten?
10.06.2004, 22:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Parameter a behandle am besten wie eine Primzahl. Dann suchst du die Teiler des konstanten Gliedes 3a, das sind hier: ±1, ±3, ±a, ±3a. Jetzt schaust du, ob eine von diesen Möglichkeiten zu einer Nullstelle führt, dann Polynomdivision. Wenn das nicht funktioniert, dann geht es mit elementaren Mitteln nicht. Und so sieht es hier aus. Hast du dich bei deinem Funktionsterm nicht verschrieben? Schau noch einmal in der Vorlage nach!
10.06.2004, 22:35	nina12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, also bei dem Funktionsterm hab ich mich nicht verschrieben. Das ist die einzige Aufgabe die ich habe, allerdings wird hier nur nach Wendepunkten, Extrema und gemeinsamen Punkten der Schar gefragt. Die Nullstellenberechnung wollte ich nur mal für mich ausprobieren, um zu testen, ob das jetzt wirklich klappt. Hast Du vielleicht mal eine Aufgabe in dieser Art zum Üben?

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