Beweis - Vielfaches von n

21.12.2009, 10:31

schmara

Beweis - Vielfaches von n

Hallo,
ich möchte gerne beweisen, dass zu jeder natürlichen Zahl n ein Vielfaches der Form
$\begin{eqnarray*} 11...100...0 = \left(\sum_{i=0}^{a} 10^{i}\right) \cdot 10^{b} \,\text{mit }a,b \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$
existiert, wobei b=0, falls n zu 10 teilerfremd ist.
Ich hab jetzt ein paar Zahlenkombis ausprobiert und glaube, dass die Aussage richtig ist. Jedoch finde ich keinen Ansatz das zu beweisen, denn a und b kann man dann ja sozusagen "frei" wählen, sodass es ein Vielfaches wird. Da man das für jede natürliche Zahl n zeigen muss, dachte ich erst an Vollständige Induktion, aber das geht doch nicht, oder? So, wie ihr seht, brauch ich dringend einen Denkanstoß :-)
Lg

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

21.12.2009, 11:44

wisili

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RE: Beweis - Vielfaches von n
unlesbar

21.12.2009, 11:45

schmara

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RE: Beweis - Vielfaches von n
ja, ich weiß. aber ich hab das mit latex geschrieben und weiß nicht wieso der das nicht anzeigt. ich dachte, hier muss man das einfach in eckige klammern setzen, aber irgendwie erkennt der das nicht.. und ändern kann man ja nur innerhalb von 15 min.

21.12.2009, 11:52

Airblader

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RE: Beweis - Vielfaches von n
Nein, nicht in eckige Klammern, sondern in [ latex] ... [ /latex ] (ohne die Leerzeichen natürlich).
Ich versuchs mal zu korrigieren (waren nämlich auch Fehler drin):

Zitat:

Original von schmara
Hallo,
ich möchte gerne beweisen, dass zu jeder natürlichen Zahl n ein Vielfaches der Form
$\begin{eqnarray*} 11...100...0 = \left(\sum_{i=0}^{a} 10^{i}\right) \cdot 10^{b} \,\text{ mit } a,b \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$
existiert, wobei b=0, falls n zu 10 teilerfremd ist.
Ich hab jetzt ein paar Zahlenkombis ausprobiert und glaube, dass die Aussage richtig ist. Jedoch finde ich keinen Ansatz das zu beweisen, denn a und b kann man dann ja sozusagen "frei" wählen, sodass es ein Vielfaches wird. Da man das für jede natürliche Zahl n zeigen muss, dachte ich erst an Vollständige Induktion, aber das geht doch nicht, oder? So, wie ihr seht, brauch ich dringend einen Denkanstoß :-)
Lg

air

21.12.2009, 13:33

schmara

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RE: Beweis - Vielfaches von n
vielen dank

21.12.2009, 23:00

wisili

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RE: Beweis - Vielfaches von n
Ich fürchte, dieses Problem ist zahlentheoretischer Art und sitzt etwas tiefer.
Ich blicke noch keineswegs durch, habe aber eine Idee, der ich nachgehen würde:
Jeder Bruch lässt sich bekanntlich in eine (evtl. periodische) Dezimalbruchzahl verwandeln
und umgekehrt lässt sich jede Dezimalbruchzahl in einen Bruch verwandeln, dessen Nenner
vom Typ 999...999000...000 ist. Es muss einen Zusammenhang geben. Die Beweisführung
bei den Brüchen greift auf geometrische Reihen zurück.

Beispiel: 0.281081081081081... = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{10} + \frac{810}{9990} = \frac{52}{185} \end{eqnarray*}$

Jeder beliebige Nenner (hier 185) muss somit erweitert werden können auf den Typ 99...999000...000.

22.01.2010, 13:11

schmara

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RE: Beweis - Vielfaches von n
Hallo,
in der Zwischenzeit habe ich einen neuen Ansatz gefunden, der auch richtig ist. Jedoch brauch ich für die Fallunterscheidung am Schluss noch etwas Hilfe.

$\begin{eqnarray*} \text{Für alle}\, k\geq1\, \text{gilt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 \cdot (\underbrace{111...111}_{k-stellig})=\underbrace{999...999}_{k-stellig}=10^k-1 \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung gilt: ggT(n,10)=1.

Mit Hilfe des Satzes von Euler und der allgemeinen Definition der Kongruenzrelation $\begin{eqnarray*} (a\equiv \text{b mod c} \Leftrightarrow c|a-b) \end{eqnarray*}$ gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} ggT(n,10)=1 \Rightarrow 10^{\varphi(n)}\equiv \text{1 mod n} \Rightarrow n|10^{\varphi(n)}-1 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} \varphi(n):=k \end{eqnarray*}$ Eingesetzt ergibt dies: $\begin{eqnarray*} n|10^k-1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \underbrace{111...111}_{k-stellig}=x \end{eqnarray*}$

Dann gilt: n|9x

Nun möchte ich eine Fallunterscheidung machen. $\begin{eqnarray*} (n=3^{p_1}\cdot 7^{p_2} \cdot 11^{p_3}\cdot ...) \end{eqnarray*}$
1. Fall:
$\begin{eqnarray*} p_1=0 \end{eqnarray*}$ , das heißt in n ist keine 3 enthalten, somit muss gelten n|x

2. Fall:
$\begin{eqnarray*} p_1\geq 1 \end{eqnarray*}$ das heißt in n ist mind eine 3 enthalten.

An dieser Stelle komm ich nicht weiter. Vll hat ja jemand eine Idee wie man jetzt begründen kann, dass n|x auch in diesem Fall gilt?

22.01.2010, 15:17

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Siehe

n|999...999000...000

angewandt auf $\begin{eqnarray*} 9n \end{eqnarray*}$ - am Schluss alles durch 9 teilen.

P.S.: Ähem, der andere Thread war ja auch von dir. Da fehlt dir also tatsächlich nur der kleine Dreh mit den $\begin{eqnarray*} 9n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

22.01.2010, 16:39

Leopold

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Und irgendwie erinnert mich dies an die Aufgabe 1 hier. verwirrt

24.01.2010, 12:35

schmara

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@Arthur Dent
Ich weiß nicht wie du das meinst. Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} 9uv|10^k-1 \end{eqnarray*}$ anfange, was ich ja tun muss, um dann später nur noch durch 9 teilen zu müssen, komme ich nur so weit, dass ich dann wieder stehen hab:
$\begin{eqnarray*} u|10^k-1 \end{eqnarray*}$
Aber was mache ich mit den übrig gebliebenen 9v?

24.01.2010, 12:43

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Willst du das Rad nochmal neu erfinden, indem du zu den $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ zurückkehrst?

Im verlinkten Thread wird bewiesen, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} 9999....0000 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} m|9999....0000 \end{eqnarray*}$ .

Diese Aussage benutze ich jetzt für $\begin{eqnarray*} m=9n \end{eqnarray*}$ , wobei das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ jetzt das aus diesem Thread hier ist: Dann gibt es also eine Zahl $\begin{eqnarray*} 9999....0000 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 9n|9999....0000 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt gibt es die aus der Definition der Teilbarkeit unmittelbar folgende simple Regel

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ab \mid ac \; \Rightarrow \; b \mid c \end{eqnarray*}$

Die kannst du hier für $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c = 1111....0000 \end{eqnarray*}$ anwenden. Jetzt klar???

31.01.2010, 13:13

schmara

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@Arthur Dent
Hallo,
tut mir Leid, dass ich so lange nicht geantwortet hab - hatte viel zu tun.
Was du geschrieben hast, hab ich alles verstanden. Nur am Schluss hakt es bei mir noch, denn ich soll ja nicht zeigen, dass n|111...000, sondern n|111...111.
Wobei ja gegeben ist, dass ggT(n,10)=1 ist und für die 3 zum Beispiel die Nullen keine Rolle spielen (wegen Quersumme). Aber wie kann ich das mit Bestimmtheit für alle weiteren n sagen?

31.01.2010, 14:21

schmara

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Ich hab mir nochmal Gedanken gemacht. Haut das hin, wenn ich das so schreibe:
$\begin{eqnarray*} ggT(z,10)=1\\ <br /> \exists x, \text{s.d.} \,10^x \equiv \text{1 mod z} \Rightarrow z|10^x-1 \Rightarrow z|999...999 \Rightarrow z|9\cdot (111...111) \end{eqnarray*}$
so, jetzt nehme ich eine Menge von z heraus, sodass z=9n ist, wobei auch hier gilt ggT(n,10)=1. Und jetzt wende ich deine Methode an:
$\begin{eqnarray*} 9n|9\cdot(111...111) \Rightarrow n|111...111 \end{eqnarray*}$
Kannst du mir sagen, ob das jetzt so richitg ist? Bei dem Schritt z=9n beschränke ich zwar die Menge von n, aber da sich die 9 wegkürzt, zeige ich es doch für alle n, die teilerfremd zu 10 sind, oder?

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