Drehmatrix/Translation

21.12.2009, 21:51

Physinetz

Drehmatrix/Translation

Guten abend,

hab ein paar Fragen zu orthogonalen Matrizen etc...

1)
Es gilt ja:

"Jede eigentlich orthogonale 2x2 Matrix ist von der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\gamma & -sin\gamma \\ sin\gamma & cos\gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ."

Heißt das, wenn ich jetzt eine eigentlich orthogonale Matrix habe, aber nicht mit trigonometrischen Funktionen , wo z.B. Werte stehen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann ich immer auf die Matrix mit den entsprechenden trigonometrischen Funktionen wie oben bringen , mit dem entsprechenden Winkel eben?

2)

"Jede eigentliche Bewegung von R² ist ein Produkt aus einer Drehung (um Ursprung) und einer Translation."

Das heißt ja dass meine orthogonale Matrix (mit det=1) dreht und parallel verschiebt um t.

"Jede uneigentliche Bewegung von R² ist ein Produkt aus einer Drehung (um Ursprung) einer Spiegelung (An Achse durch Ursprung) und einer Translation."

Bei einer uneigentlichen Matrix habe ich ja immer eine Spiegelung. Zusätzlich kommt ja nun noch die Translation. Nur was mir nicht klar ist, wieso hier noch "Drehung" aufgeführt ist? Weil eine Spiegelung eben immer eine Drehung ist, oder kann da wirklich noch eine Drehung hinzukommen, zusätzlich zu einer Spiegelung? Also bei einer uneigentlichen Matrix?

3)

Gegeben eine Matrix D:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sehe ich, dass es sich um eine Drehmatrix handelt (wegen det=1 ?), und wie , dass um die dritte Koordinatenachse gedreht wird?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sehe hier, dass es sich hier um eine Spiegelung (det=-1 ?) an der Ebene durch den Ursprung senkrecht zur dritten Koordinatenachse handelt?

4)

Und meine letzte Frage noch:

"Die Drehachse findet man durch Lösen der Fixpunktgleichung Dv=v , also des homogenen LGS $\begin{eqnarray*} (D-E_3)*v=0 \end{eqnarray*}$ ."

Kann mir da mal jemand ein Beispiel geben was damit gemeint ist, mit der Fixpunktgleichung? Das ist ja praktisch meine Drehmatrix D multipliziert mit meinem Vektor v muss v ergeben. Aber wo spielt da eine Achse mit rein?

Und über den 2. Weg: "also des homogenen LGS $\begin{eqnarray*} (D-E_3)*v=0 \end{eqnarray*}$ "

Was hat es hier mit $\begin{eqnarray*} (D-E_3) \end{eqnarray*}$ auf sich. D ist wieder meine Drehmatrix, aber $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ ?

Hänge an den 4 Punkten gerade...

Vielen Dank für jede Hilfe.... Freude

Schönen abend noch

Gruß Physi

21.12.2009, 23:37

Rmn

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RE: Drehmatrix/Translation

Zitat:

2)

"Jede eigentliche Bewegung von R² ist ein Produkt aus einer Drehung (um Ursprung) und einer Translation."

Das heißt ja dass meine orthogonale Matrix (mit det=1) dreht und parallel verschiebt um t.

Eine Drehmatrix verschiebt nie irgendwas und überhaupt verschiebt eine lineare Abbildung nichts. Wenn du was verschieben willst, muss du einen Vektor einfach draufaddieren oder zu einer affinen Abbildung gehen bzw dir zb eine 4x4 besorgen, wo in der 4. Spalte deine Translationnskomponenten stehen.

Zitat:

3)

Gegeben eine Matrix D:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sehe ich, dass es sich um eine Drehmatrix handelt (wegen det=1 ?), und wie , dass um die dritte Koordinatenachse gedreht wird?

Drehmatrix: = orthogonal und detD=1
Das mit 3. Koordinate springt einfach ins Auge, schau dir 3. Zeile an, was wird dann 3. Komplonente eines Vektors (x,y,z) sein, wenn du ihn mit dieser Matrix multiplizierst? z'=0*x +0*y+1*z=z, also ist die 3. Koordinate invariant. Die Drehung selbst ändert nicht ein Verktor, der parallel zur Drehachse liegt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sehe hier, dass es sich hier um eine Spiegelung (det=-1 ?) an der Ebene durch den Ursprung senkrecht zur dritten Koordinatenachse handelt?

Du siehst doch sofort, dass für jeden Vektor x und y Koordinaten erhalten bleiben und z Koordinate mit -1 multipliziert wird. So, dass jeder Vektor(x,y,z) zu (x,y,-z) wird.
Aber wenn du es nicht siehst, dann ja:
Spegelungsmatrix:=orthogonal und detD=-1

22.12.2009, 09:40

Ehos

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Frage 1:
Ja, jede Drehmatrix im 2D-Raum kann man wie beschrieben mit den Winkelfunktionen darstellen. Wenn das nicht möglich ist, handelt es sich nicht um eine Drehmatrix. Den Drehwinkel kann man also aus einem Matrixelement berechnen.

Frage 2:
Jede eigentliche Bewegung ist eine Hintereinanderausführung einer Translation und einer Drehung. Beispiel: Du legst Deinen Kugelschreiber von einer Stelle des Schreibtissches zu einer anderen Stelle. Dann kannst du diese Bewegung offenbar in eine Translation und eine Drehung zerlegen.
Bei einer uneigentlichen Bewegung kommt noch eine Spiegelung dazu. Beispiel: Du legst einen rechten Handschuh von von einer Stelle des Schreibtissches zu einer anderen Stelle und ziehst den Handschuh zusätzlich "auf links". Danach ist aus dem rechten Handschuh es ein linker Handschuh geworden. Das "Auf-Links-Ziehen" entspricht einer Spiegelung.
Übrigens: Eine Spiegung ist keine Drehung, denn durch keine Drehung ist es möglich, einen rechten Handschuh in einen linken Handschuh zu überführen.

Frage 3:
Die Forderung det(A)=1 reicht als Bedingung für eine Drehung nicht aus. Folgende Matrix ist keine Drehung, und trotzdem gilt det(A)=1:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Drehmatrix ist dadurch definiert, dass alle Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) den Betrag 1 haben und untereinander senkrecht stehen müssen. Zusätzlich muss die Determinante den Wert +1 haben. Wenn sie den Wert -1 hat, ist wieder eine Spiegelung enthalten.

Frage 4:
Um zu sehen, ob ein gegebener Vektor v die Drehachse einer gegebenen 3-dimensionalen Drehung D ist, muss man prüfen, ob gilt Dv=v. Diese Gleichung bedeutet anschaulich, dass die Drehachse v bei der Drehung der einzige Vektor ist, der unverändert bleibt. Alle anderen Vektoren (außer der Drehachse v) werden bewegt. In diesem Sinne ist die Drehachse der "Fixpunkt" (besser "Fixvektor"), der als einziger starr im Raum stehen bleibt. Anstelle von Dv=v schreibt man Dv=Ev, wobei E die Einheitsmatrix ist. Umstellen ergibt das homogene Gleichungssystem (D-E)v=0. Der Lösungsvektor dieses Gleichungssystems ist gerade die Drehachse. Jedes Vielfache von v ist wieder Lösung dieses Gleichungssystems. Das heißt, die Drehachse ist kein Vektor, sondern eine Gerade (aus mathematischer Sicht ein 1-dimensionlaer Vektorraum).

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