städtisches Bauvorhaben

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sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »
städtisches Bauvorhaben
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll! verwirrt

Eine Stadt besitze 800 000 wahlberechtigte Einwohner, die dazu aufgerufen seien, ihre Stimme für oder gegen ein städtisches Bauvorhaben abzugeben. Eine Gruppe von n Personen stimmt geschlossen dafür, während sich die übrigen zufällig entscheiden, also durch Wurf einer fairen Münze.
(i) Zeigen Sie, dass schon für n = 800 die Abstimmung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mehrheitlich für das Bauvorhaben ausfällt.
(ii) Zeigen Sie allgemein, das der Bau mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr abgelehnt wird. Bei welcher Gruppengröße n wird das Vorhaben mit 99% Sicherheit mit einfacher Mehrheit angenommen?
(iii) Bei welcher Gruppengröße n wird das Vorhaben mit 99% Sicherheit mit einer 2/3 - Mehrheit angenommen? Was ist die Wahrscheinlichkeit für eine 2/3-Mehrheit, wenn n = 0 ist, also jeder Bürger rein zufällig abstimmt?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du dir denn schon für eigene Gedanken gemacht?
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich ehrlich bin, noch nicht soviel, denn ich weiß gar nicht wie ich daran gehen soll.
bei der (i) z.B. wenn 800 Leute abstimmen, soll ich ja zeigen, dass dann 80% für das Vorhaben votieren.
Und von diesen 800 stimmt ja ein Anteil geschlossen dafür (wieviele weiß ich ja nicht) und der Rest entscheidet per Münzwürf, also mit 50%iger Wkeit für das Vorhaben.
Nur wie rechne ich das aus?
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da Zellerli wohl noch (verdientermaßen) das Weihnachtsfest feiert, erlaube ich mir mal ein paar Hinweise zu geben, um dir die Lösung für den Aufgabenteil (i) etwas näher zu bringen.

Von den 800.000 Wahlberechtigten sind 800 bereits entschieden.

Die restlichen 799.200 Wähler entscheiden sich mit einer Münze. Und die hat bekanntermaßen die Wahrscheinlichkeit p = 1/2 für die Ereignisse Zahl bzw. Kopf.

Wie viele Wähler müssten denn jetzt noch zustimmen, damit das Vorhaben angenommen wird? Na die einfache Mehrheit sind doch 400.000 Wähler. Da bereits 800 zugestimmt haben müssen also noch mindestens 320.000 Leute per Münzwurf zustimmen.

Nehmen wir mal an Kopf wäre Zustimmung. Bei den 799.200 Würfen müssen wir demnach mindestens 320.000 mal Kopf werfen.

Na, mit der Binomialverteilung werden wir uns da schwer tun. Wenn du das nicht glaubst, kannst du dich da ja mal probeweise dran wagen ... Big Laugh

Also müssen wir das Ganze durch die Normalverteilung approximieren (Wann darf man das denn?).

Dazu müssen wir berechen:

- den Erwartungswert µ
- die Standardabweichung sigma

Tja und mit diesen Daten müssen wir dann aus dem Tafelwerk die Wahrscheinlichkeit

P(X >= 320.000)

berechnen.

Und wenn du das so richtig hübsch und lecker machst, dann wirst du sehen, dass die Wahrscheinlichkeit sogar größer als 81 % ist.

Aber den Spaß will ich dir jetzt natürlich nicht nehmen ... Big Laugh

Grüße
centershock Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich stehe bei der gleichen Aufgabe vor dem gleichen Problem.

Die ersten Schritte von BarneyG. sind klar, bis dahin wo bei 799.200 Würfen 399.200 mal Kopf geworfen werden muss.

Ich habe meine Zufallsvariablen X_i Bernoulli-verteilt zum Parameter 1/2. X ist dann die Summe der einzelnen ZVen.

Dann habe ich den Erwartungswert "ausgerechnet": ebenfalls 1/2
Dann die Standardabweichung: ebenfalls 1/2

Nach Tipps aus unserer Übungsgruppe sollten wir dann mit dem zentralen Grenzwertsatz rechnen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie.

Vielleicht kann mir ja jemand einen kleiner Gedankenschubser geben!?!
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme beim Erwartungswert und bei sigma jeweils 400.000 heraus. Kann dieses stimmen? Und wie mach ich weiter?
 
 
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

oi, oi,

na, dann wollen wir doch mal ganz genau nachrechen! Big Laugh

Bei einer binomial verteilten Zufallsgröße ist der Erwartungswert

E(X) = n * p

n = 799.200
p = 0,5

Da komme ich zwar in die Nähe von 400.000 - aber knapp vorbei ist eben auch daneben! Big Laugh

Für die Standardabweichung sigma gilt

sigma = wurzel(n * p * (p-1))

Und selbst angesichts der Unendlichkeit ist da 400.000 keine ganz so gute Näherung. Oder? Big Laugh

Also einfach noch mal sauber rechnen ...

Und wenn dann noch Bedarf besteht, dann helfe ich auch gern bei der weiteren Rechung.

Grüße
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke!
Das ich da nen fehler gemacht habe, ist mir auch selbst noch aufgefallen Augenzwinkern
EX = 399.600 und
sigma = wurzel(n * p * (p-1)) = wurzel (-199.800) . negative wurzel? und nun?
Was fang ich dann damit an? Mir fehlt iwie ne Formel wo ich das einsetzen könnte...
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, den Erwartungswert hast du jetzt richtig ermittelt! Das ist ja schon mal was. Big Laugh

Aber mit der Standardabweichung müssen wir noch mal genau hingucken. Es muss natürlich richtig lauten

sigma = Wurzel (n * p * (1-p) ) Hammer

Aber jetzt sollte auch das funktionieren ...

Grüße
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann haben wir sigma ~= 447 und nun?
wie gesagt, ich weiß nicht, was ich dann damit weiter machen soll. hab das Gefühl nichts dazu im Skript zu haben
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, jetzt kennen wir doch µ und sigma.

Nun nähern wir die (diskrete) Binomialverteilung durch die (stetige) Normalverteilung an. Die können wir nicht "berechnen" sondern nur in Tabellen nachschlagen. Die Tabellen gibt es aber nur für die Standardnormalverteilung. Deshalb tranformieren wir die Zufallsvariable X in die (standardisierte) Zufallsvariable Z.

Z = (X - µ) / sigma

Und damit kann man dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

P(X >= 320.000) = 1 - P(X < 320.000) = 1 - P(Z < ....) = 1 - PHI(...)

Und den Funktionswert der PHI-Funktion entnimmst du der Tabelle. So werden diese Aufgaben gelöst ... Big Laugh

Grüße
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

Z = (X - µ) / sigma

Und damit kann man dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

P(X >= 320.000) = 1 - P(X < 320.000) = 1 - P(Z < ....) = 1 - PHI(...)
Wieso überhaupt 320.000? Muss ich nicht mit 399.200 rechnen?
(320.000 - 399.600) / 446,99 = - 178,08
also P(X >= 320.000) = 1 - P(X < 320.000) = 1 - P(Z <-178,08)

ich komm da einfach nicht mit klar...aber danke für deine Geduld!

Grüße[/quote]
sandra88 Auf diesen Beitrag antworten »

P(X >= 320.000) = 1 - P(X < 320.000) = 1 - P(Z < ....) = 1 - PHI(...)
Wieso überhaupt 320.000? Muss ich nicht mit 399.200 rechnen?
(320.000 - 399.600) / 446,99 = - 178,08
also P(X >= 320.000) = 1 - P(X < 320.000) = 1 - P(Z <-178,08)

ich komm da einfach nicht mit klar...aber danke für deine Geduld!

Mit dieser Tabelle de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung komm ich auch nicht weiter
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso überhaupt 320.000? Muss ich nicht mit 399.200 rechnen?


Na klar doch! Weil 400.000 - 800 = 399.200 ist (und nicht 320.000) ... Da hast du mich ja schon wieder auf dem linken Fuß erwischt ... Big Laugh

Deine nachfolgende Rechnung ist aber im Prinzip vollkommen richtig! Also ... noch einmal mit den richtigen Zahlen durchrechnen. Dann beachtest du noch, dass PHI(-z) = 1 - PHI(z) ist und das schlägst du dann im Tabellenwerk nach. Und schon hast du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet ...

Grüße
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