Konvergenzradius

27.12.2009, 14:03

Mandy_Candy

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Konvergenzradius

Hallo liege matheboadrd-Community,

ich muss den Konvergenzradius einer Reihe berechnen und tu mich damit etwas schwer, obwohl ich schon im Internet nach dem grundlegenden Vorgehen geschaut habe. Vielleicht könntet ihr euch ja meine "Rechnung" mal anschauen, und sagen, was ich alles falsch gemacht habe traurig

traurig

Die Reihe ist:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} \left(\frac{z}{2}\right) ^{2n} <br /> \end{eqnarray*}$ für z Element der komplexen Zahlen

Ich möchte den Konvergenzradius über folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:
$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(-1\right)^{n+1} n^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n} }{\left(-1\right)^{n+2} \left(n+1\right)^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n+2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(-1\right)^{1} n^{-1}}{\left(-1\right)^{2} \left(n+1\right)^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{-1 n^{-1}}{1 \left(n+1\right)^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{-n^{-1}}{\left(n+1\right)^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{-n^{-1}}{\frac{1}{n+1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{-n^{-1}\cdot \left(n+1\right) }{\left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{-1-\frac{1}{n}}{\left(\frac{z}{2}\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray*}$

Damit steht im Zähler ja -1-0=-1. Heißt das, dass der Konvergenzradius gleich -1 ist?!

27.12.2009, 18:43

Rmn

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Mandy_Candy

Ich möchte den Konvergenzradius über folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:
$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(-1\right)^{n+1} n^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n} }{\left(-1\right)^{n+2} \left(n+1\right)^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n+2} }<br /> \end{eqnarray*}$

Die Formel, die du benutzen willst berücksichtigt schon den Term $\begin{eqnarray*} \left(\frac{z}{2}\right) ^{2n} <br /> \end{eqnarray*}$ im Vergleich und er sollte da nicht drin sein.

27.12.2009, 19:12

Mandy_Candy

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Hey,

lieben Dank für deine Antwort. Wieso ist der denn schon im Vergleich drin?

Aber wenn man ihn einfach weglässt, dann kommt man doch quasi trotzdem am Ende auf das selbe Ergebnis (nur dass dann im nenner eine 1 steht) ?!

Ist der Rechenweg also sonst richtig?!

Viele Grüße, Mandy

27.12.2009, 19:23

Rmn

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Wieso das so ist? Schwer so zu erklären, schau dir die Herleitung der Formel, dieser Term steckt quasi in 1/r auf der anderen Seite.
Ja r=1 ist der Konvergenzradius, aber erst für die Reihe $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} x ^{n} <br /> \end{eqnarray*}$ , du hast aber $\begin{eqnarray*} x=(z/2)^2 \end{eqnarray*}$ Das muss du nur berücksichtigen.

27.12.2009, 19:33

Mandy_Candy

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Dankeschön.

Darf ich dich bitte etwas fragen?
1. Warum ist r=1 und nicht r=-1?
2. Also wird das ganze mit z da einfach mit x substituiert?! Und zieht man dann das x in die berechnung mit rein?

27.12.2009, 19:47

Rmn

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Zitat:

Original von Mandy_Candy
Dankeschön.

Darf ich dich bitte etwas fragen?
1. Warum ist r=1 und nicht r=-1?
2. Also wird das ganze mit z da einfach mit x substituiert?! Und zieht man dann das x in die berechnung mit rein?

1. Weil du Betragsstirche in deiner Formel vergessen hast smile

smile

Ein Konvergenzradius R bedeutet, dass die Potenzreihe für alle Werte ]-R;R[ konvergiert, es ist praktisch für alle Werte zwischen -1 bis +1. Randpunkten -1 und +1 elbst ist es unklar.
2. Aus 1 konvetgiert es für x<r, also für (z/2)^2<r. Nun kann man eine Aussage über z machen.

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27.12.2009, 20:43

Mandy_Candy

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1. Konvergiert es also gegen den Betrag von -1? Aber das kann doch dann 1 und -1 sein, oder?!
2. Was für Aussagen lassen sich denn da über z sagen?

27.12.2009, 22:56

Rmn

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Zitat:

Original von Mandy_Candy
1. Konvergiert es also gegen den Betrag von -1? Aber das kann doch dann 1 und -1 sein, oder?!
2. Was für Aussagen lassen sich denn da über z sagen?

1. Mh nicht immer, es gibt Fälle, wo es so ist und wo es nicht so ist. Dieses Kriterium, was du benutzt gibt dadrauf keine genau Antwort.
2. Naja nach z umformen, dann hast du es schon raus smile

smile

28.12.2009, 16:55

Mandy_Candy

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1. War das Kriterium also das "falsche" ?! Oder kann man es trotzdem nehmen?

2. Naja $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{x} \cdot 2 \end{eqnarray*}$
D.h. ich setze jetzt für das x die 1 ein und erhalte dann z=2... und daraus kann ich dann was schließen?

Liebe Grüße, Mandy

28.12.2009, 17:15

Rmn

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1. Das Kriterium ist ok, der Konvergenzradius setzt auch nicht voraus, dass man die Grenzpunkte kennt.
2. nicht = sondern <, dann siehst du, dass es minestens für Werte z el. ]-2,2[ konvergiert, also r=2

28.12.2009, 17:38

Mandy_Candy

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Liebe(r) Rmn,

warum ist denn jetzt r=2? Ich denke r=1.
Und warum <? Ich hatte doch z=Wurzel x * 2 ... das "<" bezog sich doch auf x und r?!

29.12.2009, 06:09

Rmn

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1. Weil r=1 für
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} x ^{n} <br /> \end{eqnarray*}$
ist und nicht für das, was du da hast. Genau dazu muss du dann noch das ganz so umformen, dass du die Aussage für z und nicht für x hast.
2.Weil Konvergenzradius R heißt, dass es für alle -R<x<R konvergiert. nun machst du eine Aussage für z und nicht x, damit du weiß für welche Werte von z es konvergiert.
Wenn du es umformst und ich mich nicht verrechnet habe, dann bekomsmt du Konvergenzradius r=2 für deine folge $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} \left(\frac{z}{2}\right) ^{2n} <br /> \end{eqnarray*}$ ,
während für $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} x ^{n} <br /> \end{eqnarray*}$ r=1 war.

31.12.2009, 13:02

Mandy_Candy

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Frage...
Duuu, darf ich dich mal bitten, die erste Zeile der Berechnung des Radius mir mal hier aufzuschreiben (analog zu meiner im allerersten Post), damit ich das jetzt mal sehe, was/wie/wo, ich das jetzt richtig/falsch gemacht habe?!

01.01.2010, 18:04

Mandy_Candy

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Also...
Also statt diesem z-Kram schreibe ich x^n und dann rechne ich das quasi aus. Dann komme ich am Ende auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} | \frac{-1-\frac{1}{n}}{x} | <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das dann so richtig? So, und da der Betrag von -1 1 ist, ist r=1.
Frage: Ignoriert man, dass im Nenner das x steht?!

Sooo, und weil man ja am Anfang x^n mit z substituiert hatte, rechnet man nun zurück oder wie?!

02.01.2010, 21:07

Mandy_Candy

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Hallo!

Ich brauche ganz dringend Hilfe und Antworten. Hab ja nun auch was versucht zu verstehen. Bitte bitte antwortet mir!

04.01.2010, 09:18

klarsoweit

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RE: Also...

Zitat:

Original von Mandy_Candy
Also statt diesem z-Kram schreibe ich x^n und dann rechne ich das quasi aus. Dann komme ich am Ende auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> r= \lim_{n \to \infty} | \frac{-1-\frac{1}{n}}{x} | <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das dann so richtig? So, und da der Betrag von -1 1 ist, ist r=1.
Frage: Ignoriert man, dass im Nenner das x steht?!

Deine ganze Denke ist einfach nur chaotisch. Sinnfreies Drauflosrechnen hilft in der Mathematik relativ selten.

Erstmal zum Thema Konvergenzradius:

Für die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ gilt für den Konvergenzradius r: $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}~|\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, kommt in der Formel für den Konvergenzradius das x gar nicht vor. Entscheidend ist lediglich, daß die Potenzreihe die vorgegebene Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ hat.

Wenn man das jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(-1\right)^{n+1} n^{-1} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ vergleicht, dann paßt diese noch nicht. Erst mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = (\frac z 2 )^2 \end{eqnarray*}$ ist die gewünschte Darstellung erreicht.

Über die Substitutionsformel kannst du dann den Konvergenzradius der "z-Reihe" aus dem Konvergenzradius der "x-Reihe" bestimmen.

04.01.2010, 17:14

Snooze

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{n} x_{n} \end{eqnarray*}$ ist die allgemeine form einer Potenzreihe,
für deine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-1} (\frac{z}{2})^{2n} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und dein $\begin{eqnarray*} x_{n} = (\frac{z}{2})^{2n} \end{eqnarray*}$

wenn du nun für für $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1}n^{-1}}{(-1)^{n+2}(n+1)^{-1}} \end{eqnarray*}$ den Konvergenzradius r = 1 rausbekommst, gilt das für $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ,

also für alle $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ < r

da du aber eine aussage für "|z|" haben möchtest, musst du $\begin{eqnarray*} x_{n} = (\frac{|z|}{2})^{2n} \end{eqnarray*}$ setzten,

dann bekommst du $\begin{eqnarray*} (\frac{|z|}{2})^{2n} < r \end{eqnarray*}$ mit r = 1 und formst das um

zu $\begin{eqnarray*} (\frac{|z|}{2})^{2} < \sqrt[n]{1} = 1 \end{eqnarray*}$ indem du auf beiden seiten die $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{} \end{eqnarray*}$ ziehst

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\frac{|z|}{2}) < \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$ wenn du nochmal die $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$ ziehst

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |z| < 2 * 1 = r \end{eqnarray*}$ wenn du dann auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} *2 \end{eqnarray*}$ rechnest

sodass dein eigentliches r = 2 ist für $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ , dass bedeutet das für alle |z| < 2 die Reihe konvergiert.

05.01.2010, 08:39

klarsoweit

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@Snooze:
1. frage ich mich, warum du noch einen Beitrag schreibst, wo ich schon in meinem Beitrag die wesentlichen Überlegungen erläutert habe.
2. verstößt du mit dem Posten einer (obendrein falschen) Komplettlösung gegen die Boardregeln, siehe: Prinzip "Mathe online verstehen!"
3. ist dein Beitrag inhaltlich falsch. Allein schon der Anfang

Zitat:

Original von Snooze
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{n} x_{n} \end{eqnarray*}$ ist die allgemeine form einer Potenzreihe,

ist daneben.

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