Quadratzahl

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ilu Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahl
Hallo.

Vielleicht könnt ihr mir ja weiter helfen.

Für welche natürlichen Zahlen n ist eine Quadratzahl ?



Wir haben jetzt mit der nummerischen Berechnung (MATLAB) folgende Ergebnisse erhalten:

n=12
n=64
n=66
.... (jede zweite weitere Zahl /in zweier Schritten weitergezählt)
bis n=104
(ab n=104 ist die Lösung der Gleichung immer eine Quadratzahl/ also ab n=104 bis Unendlich)

dadurch wissen wir, dass immer eine Quadratzahl sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

D.h. die Lösungen für n wissen wir.
Wir müssen nun beweisen, warum gerade diese natürlichen Zahlen die Lösung sind und warum die anderen nicht als Lösung in Frage kommen.

Vielen Dank fürs Grübbeln.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat aber nichts zu tun mit der 4. Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik? Oder doch?
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

nein..es ist ein heuristisches Problem.
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Uns ist ein fehler unterlaufen.
Aufgrund von numerischen Ungenauigkeiten bei MATLAB haben wir zuviele Möglichkeiten für natürlichen Zahlen n.

Dabei ist die einzige natürliche Zahl, für die Gleichung eine Quadratzahl ergibt, n=12.
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Leider sind wir immer noch am überlegen, wie man nun beweisen kann, dass nur n=12 als Lösung in Frage kommt.
Welche Beweismethoden eignen sich in diesem Fall?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte dazu z.B. verwenden, dass die Abstände zwischen zwei Quadratzahlen immer größer werden... Einfaches Bespiel: Ist n gerade, so ist dann eine Quadratzahl und größere Quadratzahlen haben einen Abstand von mindestens



was für genügend großes n dann größer als sein sollte...
 
 
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis !
Warum ist das dann nur für n=12 gültig und nicht für n>12 ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ilu
Danke für den Hinweis !
Warum ist das dann nur für n=12 gültig und nicht für n>12 ?


Hm, so wie du die Frage stelltst, hast du meinen Hinweis offenbar doch nicht verstanden... Also nochmals, wenn n gerade ist, dann ist wegen



eine Quadratzahl und die Distanz zur nächstgrößeren Quadratzahl beträgt



Damit also



ebenfalls eine Quadratzahl sein kann, muss notwendigerweise



gelten, was aber für die geraden falsch ist... Damit hat man also für gerades n nur mehr die Fälle zu überprüfen...

Es fehlt dann noch der Fall, dass es auch für ungerades n keine weiteren Lösungen gibt, da solltest aber selber draufkommen....
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
die Aufgabe ist leider noch nicht gelöst.
Für gerade n ist die Aufgabe gelöst.
Für ungerade n leider noch nicht. Dafür habe ich nur folgenden Ansatz.

Wenn n ungerade ist, dann ist keine Quadratzahl.

Die Wurzel einer Quadratzahl muss eine natürliche Zahl sein.



mit



?

An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter.
Ich habe jetzt noch einen ganz neuen Ansatz bekommen.







Die Wurzel einer Quadratzahl muss eine natürliche Zahl sein.

ist eine natürliche Zahl.

Bedingungen für q aufstellen:
- q ist gerade
- q ist eine natürliche Zahl

Vielen Dank an euch!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »


Weil 2^8 Quadratzahl ist, ist auch die Klammer eine:
Beide Kammern sind Teiler der linken Seite, also Zweierpotenzen
und sie haben die Differenz 6. Die beiden Zweierpotenzen können deshalb nur 2^3 und 2^1 sein.
Somit
und n = 12.
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke..
das ist alle sehr schlüssig.

Du sagst und schließt dann auf die Zweierpotenzen. Und die folgenden Schritte sind auch logisch.

Aber ich muss begründen können, wieso ich die beiden Klammern dividiere. (ich weiß, dass ich dadurch auf einen "Abstand" von 6 komme,d.h. Abstand von und )

Kannst du mir bei einer Begründung helfen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, was du mit Dividieren meinst hier.
Ich habe rechts u^2-9 und zerlege das nach 3. binomischer Formel in 2 Faktoren.
Dann bemerke ich, dass die beiden Faktoren zwar nicht gleich sind, aber auch nicht sehr weit auseinander
(das beruhigt, denn dann gibt es nicht mehr viele Möglichkeiten!): Sie liegen nur 6 auseinander.
Nun sehe ich mir alle Kandidaten an: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... und sehe, dass der Abstand 6 oberhalb 8 gar nicht mehr möglich ist. Unterhalb 8 kann man alle Möglichkeiten testen, kommt aber nur einmal auf 6.
ilu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich ausklammere, dann betrachte ich nur den Fall . Ich müsste dann also noch betrachten. Das könnte ich ja auch einfach durch einsetzen machen.

Ich habe nun noch eine Variante, in der ich keine solche Fallunterscheidung vornehmen muss.










Bedingung: Beide Klammern/Faktoren der rechten Seite sind Teiler der linken Seite, also Zweierpotenzen.















1.Fall:

Widerspruch

2.Fall:






















Für diese x und y ist n= 12.
Hätte ich damit bewiesen bzw. gezeigt, dass x=5 und y=7 die einzige Lösung?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst hast du recht: Ich habe die Fälle 0<n<8 vergessen.
Beim oberflächlichem Lesen fällt mir nichts Fehlerhaftes in deiner Darstellung auf.
Bleibt die Frage: Was ist schöner?
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