Lineare Unabhängigkeit von Vektoren. |
| 28.12.2009, 16:12 | Foomy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
,wir haben gerade mit Vektorräumen / Untervektorräumen angefangen. Dabei wird mir allerdings die lineare Un-abhängigkeit nicht ganz klar. Zwei Vektoren sind linear unabhängig voneinander, wenn sie nicht "Vielfache" voneinander sind, sozusagen, soweit gehe ich noch mit. Allerdings haben wir eine Aufgabe bekommen mit folgendem Inhalt: "Es sei V ein Vektorraum über dem Körper R und die Vektoren a1, a2, a3 V linear unabhängig. Sind dann auch die Vektoren b1 := a1 - a2 b2 := a1 - 2a3 b3 := a1 + a2 + a3 linear unabhängig?" Ich weiß auch garnicht ob ich die b1,b2,b3 jetzt zusammen oder getrennt betrachten soll? Mein Ansatz bisher war r*b1+s*bs+t*b3=0 d.h. r*(a1-a2)+s*(a1-2a3)+t*(a1+a2+a3)=0. Da ja a1,a2,a3 unabhängig sein sollen, müsste es doch eigentlich nur die Lösung r=s=t=0 für diese Gleichung geben, womit dann b1,b2,b3 unabhängig wären? Oder soll man die die Bs einzeln betrachten..? Dann wäre ja z.b. b1 linear abhängig von a1 und a2, da b1 eine Linearkombination aus den beiden ist mti jeweils dem Faktor 1, oder so... Ich habe nicht wirklich eine Ahnung wie ich hier was zeigen soll... Ich wäre über Denkanstöße dankbar :S mfg, Foomy |
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| 28.12.2009, 16:18 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
Hallo, ja das stimmt so weit. Jetzt so anordnen dass jedes der a_i nur noch einmal vorkommt und dann die lineare Unabhängigkeit dieser benutzen. Dies liefert ein lineares Gleichungssystem dass es zu lösen gilt |
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| 28.12.2009, 17:23 | Foomy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. Ich habe mir das jetzt folgendermaßen gedacht: r*(a1-a2)+s*(a1-2a3)+t*(a1+a2+a3)=0 Die triviale Lösung, so heißt das ja glaube ich, wäre ja wenn r,s,t=0. Dann gibt es ja noch den Fall, dass der andere Faktor jeweils 0 sein kann. D.h. a1-a2=0 a1-2a3=0 a1+a2+a3=0 Das wäre dann ja das LGS, oder? Wenn ich das nun löse: 1 -1 0 0 1 0 -2 0 1 1 1 0 kommt heraus: 1 -1 0 0 0 1 -2 0 0 0 5 0 Da der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl an untersuchten Vektoren (a1..a3) ist (so in etwa lautet eine Definition in meinem Buch), d.h. keine Nullzeilen usw., heißt das, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt (sieht man ja auch so an der letzten Zeile, 5 mal irgendwas = 0, damit wären a1,a2,a3 ja alle jeweils der Nullvektor) womit gezeigt wurde, dass b1,b2,b3 linear unabhängig sind. Habe ich irgendwas falsch gemacht oder wäre das vllt schon die Lösung? |
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| 28.12.2009, 17:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du dir die Antwort wenigstens durchgelesen? Du machst so ziemlich genau das Gegenteil. Du stellst ein LGS in den a_i auf, das macht überhaupt keinen Sinn, die a_i sind keine Variablen sondern Vektoren. Außerdem ist direkt ersichtlich dass diese Gleichungen falsch sind, da die a_i eben linear unabhängig sind. |
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| 28.12.2009, 18:09 | Foomy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Jetzt so anordnen dass jedes der a_i nur noch einmal vorkommt" Da dachte ich dann wohl falsch. Meinst du das denn so? a1*(r+s+t)+a2*(-r+t)+a3*(-2s+t)=0 Das wäre jetzt nur jeweils das ai ausgeklammert, sodass jedes ai nur einmal da steht. Was soll mir das Gebilde denn sagen? Soll daraus das LGS erzeugt werden? Man weiß ja nicht wieviele Bestandteile ein ai hat. Werde da nicht wirklich schlau draus... "Außerdem ist direkt ersichtlich dass diese Gleichungen falsch sind, da die a_i eben linear unabhängig sind." Wenn das so ist, heißt es ja dass nur der linke Teil (das r,s,t) null sein kann, oder wie, ist denn das aufstellen eines LGS überhaupt nötig? sorry für meine Unwissenheit. |
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| 28.12.2009, 20:22 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt anwenden dass die a_i linear unabhängig sind und du hast dein LGS |
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| 29.12.2009, 13:42 | Foomy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und genau damit weiß ich nicht so recht etwas anzufangen.. sich die lineare unabhängigkeit zu nutze machen.. hm.. linear unabhängig heißt ja, dass sich ein a_i nicht aus anderen a_is darstellen lässt. Die einzige Idee die ich hatte war jetzt einfach aus der Gleichung a1*(r+s+t)+a2*(-r+t)+a3*(-2s+t)=0 ein LGS "über" die Variablen r, s, t aufzustellen und analog wie oben vorzugehen, auch auf der Gefahr hin, dass diese Idee falsch ist... wo ich dann auf die Lösung kommen würde, dass für das aufgestellte LGS r=s=t=0 die einzige Lösung sei. Oder bin ich wieder auf dem Holzweg (wahrscheinlich schon)? mfg, Foomy |
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| 29.12.2009, 16:24 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Linear abhängig heißt dass aus folgt dass . Was die Lambdas sind musst du schon selbst erkennen. Beim Rest hast du dann Recht. Du musst folgern dass r=s=t=0 |
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| 29.12.2009, 20:09 | Foomy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ok, ich danke dir. Dann werde ich noch diese allgemeine Form anwenden um es zu zeigen was ich meine. mfg, Foomy. |
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