Bestimmung der Determinante

28.12.2009, 18:14

Bullet1000

Bestimmung der Determinante

Hallo,

ich sitze gerade an einer Aufgabe.
Mir ist das Ergebnis soweit klar. Ich weiß nur nicht, wie ich es zeigen soll.
Ich soll also die Determinante folgender (n x n)-Matrix berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 &... & 1 &1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot &... & \cdot & \cdot \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Also in der Hauptdiagonale Nullen und sonst Einsen.

Ich meine, dass die Determinante einer solchen Matrix A soch solgendermaßen berechnen lässt:
$\begin{eqnarray*} detA = (-1)^{n+1}\cdot (n-1) \end{eqnarray*}$

Aber wie genau kann man das zeigen?

Grüße

Bullet1000

28.12.2009, 18:43

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gar nichts geht, durch Induktion.

28.12.2009, 18:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so: Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten, die dritte von der zweiten usw. bis schließlich die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te von der $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -ten. Addiere dann für $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \leq n-1 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Zeile zur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Zeile.

28.12.2009, 18:56

Bullet1000

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... Ich bin mir unsicher, ob ich das jetzt richtig verstanden habe.
Wie sieht denn dann letztendlich die neue Matrix aus.
Und wie berechnet man dann deren Determinante?

28.12.2009, 19:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die von mir beschriebenen Operationen ändern ja die Determinante nicht. Mach das doch einfach einmal für, sagen wir, $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ .

29.12.2009, 13:13

Bullet1000

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich versuch es mal:

Sei also n=4. Dann sieht die MAtrix folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} detA=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 &1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante dieser Matrix ist -3

Nun versuch ich es mal mit deinem Schema:

Ich ziehe also die zweite von der ersten, die dritte von der zweiten und die vierte von der dritten Zeile ab. Dann sieht die Matrix so aus:

$\begin{eqnarray*} detA=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

So und nun multipliziere ich das k-fache der k-ten Zeile zur letzten Zeile dazu:
$\begin{eqnarray*} detA=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Na ja. Nun ist die Determinante natürlich wieder gleich -3.
Ich denke mal, dass es unser Ziel ist, so viele Nullen, wie möglich zu erzeugen.

Hab ich dein Schema evtl. falsch angewendet?

Zudem kommt ja auch noch:
Wie berechnen ich die Determinanten für noch größere n?

Grüße und Danke für die Hilfe

29.12.2009, 18:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die zweite von der ersten, die dritte von der zweiten und die vierte von der dritten Zeile subtrahierst, sieht das doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die erste Zeile zur letzten addieren, dann das Zweifache der zweiten Zeile zur letzten addieren, dann das Dreifache der dritten Zeile zur letzten addieren.

30.12.2009, 10:12

Bullet1000

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah OK,

ich habe das falsch subtrahiert.

Bei mir bleibt jetzt letztendlich folgende Determinante stehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass die Umformungen jetzt richtig sind.

Na ja. und wenn man die Elemente der Hauptdiagonalen multipliziert, ergibt das gerade die Determinante.
Wenn ich dieses Schema für n Zeilen und Spalten fortsetze bleibt natürlich gerade noch (n-1) unten rechts stehen.

Aber wie zeige ich jetzt, dass meine Behauptung auch stimmt?

Ich hätte evtl eine Idee. UNd zwar haben wir die Determinante über folgende Definition eingeführt:
$\begin{eqnarray*} detA=\sum\limits_{\alpha} \chi(\alpha)a_{1\alpha_{1}}a_{2\alpha_{2}}\cdot\cdot\cdot a_{n\alpha_{n}} \alpha = Permutation \chi = Charkater der Permutation \end{eqnarray*}$

Meines Erachtens bleiben dann gerade nur noch die Elemente der Hauptdiagonalen übrig?

30.12.2009, 10:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bullet1000
Wenn ich dieses Schema für n Zeilen und Spalten fortsetze bleibt natürlich gerade noch (n-1) unten rechts stehen.

Und das ist der Beweis. Du mußt das nur allgemein formulieren (im Prinzip sind das die Worte meines ersten Beitrags) und die wichtigsten Schritte mit Pünktchenmatrizen hinschreiben. Hier sind es zwei Schritte: Nach dem ersten Umformungsblock bleibt die Matrix mit $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$ als letzter Zeile und ansonsten $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in der Hauptdiagonalen und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in der ersten Nebendiagonalen. Nach dem zweiten Umformungsblock bleibt die Dreiecksmatrix mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ ganz unten rechts und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in der Hauptdiagonalen sonst. Voilà!

EDIT (auf dein Edit hin)
Du weißt doch, daß die Determinante einer Dreiecksmatrix einfach das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen ist? (Das folgt übrigens aus der von dir angegebenen Formel.)

30.12.2009, 11:47

Bullet1000

Auf diesen Beitrag antworten »

JO genau.

Das hab ich auch gerade nochmal nachgelesen.
Vielen Dank für die Hilfe.

Grüße

Bullet1000

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmung der Determinante

Verwandte Themen