Beweis zur Basis eines Vektorraums

29.12.2009, 12:33

Shalec

Beweis zur Basis eines Vektorraums

Hallo an alle!

also meine Aufgabe ist folgende:

Sei V ein K-Vektorraum
$\begin{eqnarray*} U,W \subset V \end{eqnarray*}$ seien Unterräume
$\begin{eqnarray*} u_{1}, ..., u_{n} \end{eqnarray*}$ sei Basis von U
$\begin{eqnarray*} w_{1}, ..., w_{m} \end{eqnarray*}$ sei Basis von W

Man zeige $\begin{eqnarray*} u_{1}, ..., u_{n}, w_{1}, ..., w_{m} \end{eqnarray*}$ sind Basis von V genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$ .

wie beginne ich den Beweis am besten? Ich hab in den Vorlesungen 2 Wochen gefehlt und mir hat noch niemand die Inhalte geben können. Wir behandelten in diesen Wochen ähnliche Beweisführungen.

Mein Ansatz wäre folgender:

1.) zu zeigen: Nachweis der Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ (vlt überflüssig, da gegeben..)
2. a) ggf. ist durch diese Eigenschaft zu sehen, dass genau dieser fall vorliegt.
2. b) fals dies nicht der fall ist, dann Basiseigenschaften an $\begin{eqnarray*} u_1, ..., u_n, w_1, ..., w_m \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nachweisen. (welche Beweismöglichkeiten gibt es da denn? Direkte und Indirekte?..)
habe ich nun die Basiseigenschaften nachgewiesen, dann muss ich doch nur noch zeigen, dass 3.) $\begin{eqnarray*} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray*}$ und 4.) $\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$ gilt.
bzw. ich soll ja zeigen, dass die Basiseigenschaften genau dann gelten, wenn 3. und 4. gilt. (Also muss direkt beides gelten, da sonst 2.b nicht gilt) richtig?

vielen Dank schonmal im voraus!

ps.: hier nochma meine Frage gesondert aufgeführt:
Wie gehe ich den Beweis am besten an? Was sollte ich mir bei der Beweisführung vor Augen halten? Wenn ich mal probleme bei einer Beweisführung habe ist es doch sicherlich ratsam auf bekannte Strukturen zurückzuschließen, bzw. die Aufgabe dahin umzuformen. Jedoch würde mir hier keine Umforum einfallen, bzw. ich würde keine direkt erkennen..

also: Beweis: wie, was und warum? ^^

edit:\\
oh, hab garnicht gesehen, dass hier unter hochschul und schulmathematik unterschieden wird..bitte den thread in den Hochschulbereich schieben! ^^
danke :-)

Edit (mY+): Ist gerade eben geschehen! *** verschoben ***
Edit: Setze die Formeln doch bitte noch in die passenden [latex]-Tags, dann ist alles (fast) perfekt - geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

29.12.2009, 17:23

Reksilat

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RE: Beweis zur Basis eines Vektorraums
Hi shalec,

Es sind hier zwei Richtungen zu zeigen:
1) $\begin{eqnarray*} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \{u_1,..,u_n,w_1,...,w_m\} \end{eqnarray*}$ ist Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$
Dazu musst Du zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{u_1,..,u_n,w_1,...,w_m\} \end{eqnarray*}$ a) linear unabhängig ist und b) den ganzen Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ erzeugt.

Zu a) Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1u_1+...+\lambda_nu_n+\mu_1w_1+...+\mu_mw_m \end{eqnarray*}$ ist, für irgendwelche $\begin{eqnarray*} \lambda_i,\mu_i\in K \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass dann die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ alle Null sein müssen. Dazu brauchst Du zuerst, dass $\begin{eqnarray*} U\cap W=\{0\} \end{eqnarray*}$ ist und dann, dass eben die beiden Basen linear unabhängig sind.
b) Nimm ein beliebiges $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} V=U+W \end{eqnarray*}$ ist, gibt es $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v=u+w \end{eqnarray*}$ . Wieso lässt sich nun $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} u_1,..,u_n,w_1,...,w_m \end{eqnarray*}$ darstellen?

2) $\begin{eqnarray*} \{u_1,..,u_n,w_1,...,w_m\} \end{eqnarray*}$ ist Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$
...kommt dann danach... Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

30.12.2009, 12:13

Shalec

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Vielen Dank schonmal für deine Antwort!
Ich werde jetzt mal den Beweis danach angehen und ihn anschließend hier veröffentlichen...
im Grunde fällt mir das verstehen und erkennen nicht schwer, aber irgendwie steh ich in letzter zeit aufn schlauch was diese abstrakten aufgaben angeht..und die klausur in analysis steht auch noch vor der tür..am 4.2. :X
naja..ich werd mir mühe geben alles zu raffen *vorsatz für 2010 xD*

mathematik ist schon eine schöne kunst! :-)

liebe grüße

31.12.2009, 14:21

Shalec

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also ich bin grade dabei die lin. unabhängigkeit zu beweisen..
jedoch frage ich mich, ob man dies bei einem so allgemeinen beispiel überhaupt kann?
wenn das bei einem solch allgemeinen beispiel klappt, dann ist doch jede lineare kombination lin.unabhängig insofern kein vektor 2 mal vor kommt...

also ich weiß, dass ich zeigen muss, dass die triviale lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} =0 = \mu_{i} \end{eqnarray*}$ als einzige lösung gilt!

aber über welches system? ich kann doch mit sicherheit mein

auch als
$\begin{eqnarray*} \lambda_{i}(u_{1}+...+u_{n})+\mu_{i}(w_{1}+...+w_{m}) \end{eqnarray*}$ schreiben oder?

ist zwar ne krasse verallgemeinerung, aber trifft ja theoretisch zu...müsste halt nur noch sagen, dass jede multiplikation zum summanden von i=1 jedesmal +1 wird...also von 1 bis n bzw. m...

beweisen kann ich dadurch aber noch lange nix.
da ja gilt, lin. unabhängig ist, wenn etwas nicht lin. abhängig ist (trivial) .. also wenn keiner der vektoren eine lineare kombination anderer ist.
und genau das ist ja sofort zu sehen.. in diesem allgemeinen beispiel..jedoch denk ich da gleich wieder an eine fallunterscheidung... die da wäre.. $\begin{eqnarray*} u_1 \neq u_i \end{eqnarray*}$ .
bzw. auch statt ui, wi..

aber wenn ich das so schreibe, dann habe ich mir doch nur einen fall konstruiert, der dann zutrifft und nicht aus dem, was ich habe, das bewiesen, was ich soll..

mit nem konkreten beispiel ginge es ja recht einfach dann über ein LGS die triviale lösung zu zeigen.

edit:\
mir is eben noch was eingefallen zur notation..

$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i}+\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i} = 0 \end{eqnarray*}$

umgestellt
$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i}=-\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i} \end{eqnarray*}$

01.01.2010, 03:20

Reksilat

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Zitat:

aber über welches system? ich kann doch mit sicherheit mein

Diese Verallgemeinerung ist in der Tat so krass, das nur ein Wort darauf zutrifft: Unfug!
Die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ sind irgendwelche Elemente aus K. Anzunehmen, dass sie alle gleich sind, hat nichts mit Mathematik zu tun.

Zitat:

mir is eben noch was eingefallen zur notation..

$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i}+\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i} = 0 \end{eqnarray*}$

umgestellt
$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i}=-\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i} \end{eqnarray*}$

Das hier dagegen ist ein guter Schritt. Auf der linken Seite der Gleichung hast Du jetzt nämlich ein Element aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und auf der rechten Seite ein Element aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Verwende nun, dass $\begin{eqnarray*} U\cap V=\{0\} \end{eqnarray*}$ ist.

Ein schönes Neues!
Reksilat.

01.01.2010, 12:42

Shalec

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Das freut mich ja schonmal ^^
wenn ich nun sehe dass U=-V ist.. da ja ein beliebiges Element aus U das negative von V ist, also sie gegenseitig die Inversen von einander darstellen, kann ich doch einfach das Axiom verwenden..

-V ist Inverses von U, da gilt: a-a=0, gilt hier U-V=U-U=0 und somit folgt U geschnitten V = {0}.

$\begin{eqnarray*} U \cap V = {0} \end{eqnarray*}$
bezeichnet werden hier ja alle gemeinsamen Elemente beider Mengen. Da V immer inverses zu U ist, und nur 0+0=0 (also nur in diesem Fall trifft halt zu, dass Element und inverses Element gleich sind) gilt halt, dass U geschnitten V = {0} ist.

wenn das stimmt, hab ich damit schon die lineare Unabhängigkeit bewiesen?

Vielen Dank für deine Hilfe :-)
und auch dir ein schönes und frohes Neues!

liebe Grüße

PS.: ich find die Art der Hilfe hier im Forum klasse! ich glaub, ich werd hier Stammuser :-)

01.01.2010, 13:32

Reksilat

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Verstehst Du denn selbst, was Du da schreibst? Ich kapiere nämlich kein Wort. Das fängt schon mit "U=-V" an, U und V sind doch Mengen, da hat es überhaupt keinen Sinn zu sagen, dass sie gegenseitig ihre Inversen sind. Außerdem muss da statt V eigentlich W stehen, da bin ich bei meinem letzten Beitrag leider auch etwas durcheinandergekommen.

Zitat:

bezeichnet werden hier ja alle gemeinsamen Elemente beider Mengen.

Dieser Satz ergibt keinen Sinn!

Noch mal von vorne. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i}=-\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i} \end{eqnarray*}$
offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} x:=\sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}u_{i} \end{eqnarray*}$ ein Element aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ (Linearkombination von Vektoren aus U, und U ist ein Unterraum)
ebenso ist $\begin{eqnarray*} y:=-\sum^{m}_{i=1}\mu_{i}w_{i}\in W \end{eqnarray*}$
Nun ist nach obiger Gleichung aber $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ und somit liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , als auch in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Was sagt uns das?

01.01.2010, 17:18

Shalec

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wenn x=y, unter der voraussetzung das

gilt, ist x=y=0 und somit sind beide Mengen nicht linear abhängig?

kann man denn das gar nicht darin sehen, dass jedes element aus U sein inverses in W hat? Weil wenn das so ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} V=\sum_{i=1}^{n} 1=n \end{eqnarray*}$ . hatte vorhin nur abgekürzt, im sinne von, wenn jedes element der menge, dann die ganze menge. aber rein logisch geht das ja nicht..

im vorherigen post hab ich was verwechselt.. ich dachte, wir sollen genau das zeigen, was aber unsere voraussetzungen sind.

beim schreiben dieses posts ist mir eben noch was in den sinn gekommen..

x ist eine Linearkombination von Vektoren aus U, somit ist x von jedem Element in U abhängig (wenn man das so sagen kann). und da x = y, ist x auch in W. und somit kann man doch schlussfolgern, dass W von U linear abhängig ist? Wobei dies ja nur für ein Element aus W gilt... welches offenbar 0 ist und somit ist die Lösung trivial, und sie sind nicht lin. abhängig.

zu dem U geschnitten W, bezeichnet doch den raum der Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. also wenn man sich das mit diesen Kreisen vorstellt, dass ist das genau die Menge, in der sich die anderen beiden mengen treffen. Gemeinsame Elemente. So dachte ich jedenfalls ist der Sinn dessen, was ich zuvor dazu schrieb :-)

vielen Dank, auch weiterhin, für deine bisherige Hilfe :-)

01.01.2010, 17:34

Reksilat

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Zitat:

Original von Shalec
wenn x=y, unter der voraussetzung das

gilt, ist x=y=0 und somit sind beide Mengen nicht linear abhängig?

Mathematik ist kein Ratespiel. Entweder Du siehst etwas oder Du siehst es nicht. Durch herumstolpern wirst Du jedenfalls keinen Beweis zustandebringen.
Daraus, dass x=0 ist, folgt bestimmt noch nicht direkt lineare Unabhängigkeit. Konzentriere Dich darauf, was zu zeigen ist. Oben habe ich das auch explizit hingeschrieben.

Zitat:

kann man denn das gar nicht darin sehen, dass jedes element aus U sein inverses in W hat? Weil wenn das so ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} V=\sum_{i=1}^{n} 1=n \end{eqnarray*}$ . hatte vorhin nur abgekürzt, im sinne von, wenn jedes element der menge, dann die ganze menge. aber rein logisch geht das ja nicht..

Ich habe keine Ahnung, was Du damit sagen willst. $\begin{eqnarray*} V=n \end{eqnarray*}$ ist vollkommener Unfug!
Deine Argumentation besteht nur Umschreibungen, die nichts mit mathematisch korrektem Vorgehen zu tun haben. Du gehst ja nicht mal auf die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ ein - ohne die wirst Du aber keinen vernünftigen Beweis hinbekommen.

02.01.2010, 17:54

Shalec

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also ich hab mal die ideen von dir aufgegriffen und einen widerspruchsbeweis durchgeführt..also mir mal gedacht, wie müsste es aussehen, wenn ich exakt das gegenteil voraussetze..
hier meine lösung. wieviele punkte wären das? in % ausgedrückt.. wäre damit die aufgabe voll beendet?

liebe grüße und besten dank für die hilfe!

02.01.2010, 18:15

Reksilat

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Na klar. Du hast diesen Beweis völlig selbständig erarbeitet und weißt jetzt nur nicht, ob Du auch alles erledigt hast. Hammer

- Guck mal, Reksilat! Hinter Dir, ein dreiköpfiger Affe!
- Was? Wo denn?
- So ein Pech! Zu spät!

(Veralbern kann ich mich alleine)

Gruß,
Reksilat.

02.01.2010, 19:45

Shalec

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nein nicht selbständig! mit hilfe eines freundes..der hat mir ein paar dinge erklärt, dann in seiner aufsicht das umgesetzt was wir dachten..

ich habe ihm mein problem mit der aufgabe geschildert, dann kam seine idee, warum ich denn nicht davon ausgehe das gegenteil zu machen. nach einigem überlegen, gab er mir immer mehr hinweise, bis dann letztendlich das heraus kam.

da das hier nicht 100% meins ist, wäre es ja selbstverständlich keine art das abzugeben.. ich will ja nur wissen, wieviel % diese lösung abdeckt, was von der aufgabe gegeben war.

etwas solches abzugeben wäre ja nahezu das gleiche, als hätte jemand carl orff die noten zu o-fortuna geklaut und sie als sein eigen verwertet. ich bin und war schon immer ein feind von plaquiat. dachte nur nicht, dass dies jetzt hier so direkt eine rolle spielt.

liebe grüße und fühl Dich nicht veralbert. dies war nicht meine intension!

02.01.2010, 20:02

Reksilat

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Mir ist es sowohl im Matheboard als auch im Reallife ziemlich egal, woher jemand seine Lösung hat. Nachprüfen kann man des eh nicht immer so genau. - Wichtig ist, dass sich derjenige damit beschäftigt hat (das hast Du zumindest erfüllt) und außerdem, dass derjenige auch verstanden hat, was er da abgibt.
Wenn Du bei diesem einwandfrei formulierten Beweis nicht mal kapiert hast, was eigentlich alles gemacht wird, dann bist Du an Punkt 2 gnadenlos gescheitert. Dann hast Du auch die Idee des Beweises nicht wirklich verinnerlicht.
Lies den Beweis, verstehe ihn, dann weißt Du auch, ob noch was fehlt. Ich helfe Dir bei Fragen zum Beweis. Mehr kann und will ich nicht machen.

Dass in dem obigen Beweis dimV=n+m steht, wohingegen bei Deiner Aufgabe von V=U+W die Rede ist, ist Dir aber hoffentlich aufgefallen?!

Gruß,
Reksilat.

btw: Intention! Intension ist was anderes.

02.01.2010, 20:56

Shalec

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ja natürlich ist es mir aufgefallen.

mir ist es insbesondere wichtig das alles zu verstehen, da ich ja sonst mein studium nicht schaffe und die zeit unnötig verbracht hätte.
darf ich fragen, was du von beruf aus machst? und ob du die mathematik studiert hast oder "nur" ein stark-interessierter bist?

außerdem, danke für die berichtigung :-) werds nicht mehr verwechseln..
sollte ich egtl. ohnehin schon nicht.

"einwandfrei formulerter Beweis", ich denke, dass das den jenigen, mit dem ich das gemacht habe, oder viel mehr, von dem fast alles stammt, sehr freuen zu hören! ich finde ohne hin, dass er ein sehr guter mathe-student ist, ist in meinem semester. ich muss da noch viel machen, bis ich so weit bin wie er!

liebe grüße und noch einen schönen abend.

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