e-Funktion (war: eulersche Funktion)

29.12.2009, 17:17

Kwedenker

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e-Funktion (war: eulersche Funktion)

Hallo liebes Forum
(ich hoffe ich bin im richtigen Bereich)
Zum Montag den 04.01.2010 muss ich einen Mathevortrag halten
Ich bin Schüler der 11ten Klasse und stehe fast 1 (Klassenbester (unsere Klasse ist allgemein sehr schlecht in Mathe)) naja und um auf die Note 1 zu kommen soll ich einen Vortrag über die euler`sche Funktion halten und hänge
derzeit bei Aufgabe 2 (von 5 ) fest.
Diese lautet : stellen Sie die eulersche Funktion dar und beschreiben Sie möglichst viele Eigenschaften dieser Funktion.

Mein Problem ist dass ich nichtmal weiß was diese eulersche Funktion überhaupt ist und schon garnicht deren Herleitung

bitte euch daher um Hilfe
Vielen Dank im Vorraus
PS: dies ist mein erster Beitrag hier und ich bin mit Suchfu uä. noch nicht vertraut also wenn es schon ein identisches Thema gibt bitte ich um einen Link

PS2: Ich möchte nicht die komplette Lösung bekommen (wenn ist auch nicht schlecht) da ich eigentlich verstehen will was ich vortrage und mir daher auch Dinge selber erarbeiten möchte

Edit: Titel korrigiert. Gruß, Reksilat.

29.12.2009, 17:30

Elvis

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Da brauchst du nur in Wikipedia nach Eulersche Funktion fragen : http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Funktion
Wenn du das gelesen und verstanden hast, kannst du einen Vortrag halten. Frag nach, wenn du noch Fragen hast.

29.12.2009, 17:44

Kwerdenker

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also ist p(m*n)=p(m)*p(n) die eulersche Funktion?
wenn ja würde mich interessieren wie man auf diese Formel kommt also die Herleitung

29.12.2009, 18:00

Elvis

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Nein, nein, nein, ... Du hast nicht gelesen und nicht verstanden. unglücklich

unglücklich

Die Eulersche $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ - Funktion heißt nicht p sondern $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , das ist ein griechischer Buchstabe und wird "phi" transkribiert und "vieh" ausgesprochen (daher kommt der Mathematikerwitz "Klein- $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ macht auch Mist.")

Und nun bitte erst lesen, dann verstehen, dann nachdenken und dann fragen, in dieser Reihenfolge.

29.12.2009, 18:21

Kwerdenker

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Ja es tut mir wirklich außerordentlich Leid dass ich nicht weiß wie man dass Zeichen "Phi" einfügt

wäre nett gewesen wenn du(sagt man doch in Foren oder) die Formel einfach mal aufgeschrieben hättest

noch netter wäre ein freundlicherer Ton gegenüber hilfesuchenden Leuten

und du hast Recht ich habe den Wikipedia Eintrag nicht komplett verstanden weil ich viele Zeichen die dort verwendet werden nicht kenne
wie z.B. (ich kann sie nicht kopieren) das große pi zeichen

alles was ich bis jetz über die Funktion weiß(bzw. denke dass ich weiß) ist dass sie
-angibt wie viele teilerfremde Zahlen die Zahl hat
traurig

traurig

und wenn ich erst lese dann verstehe warum soll ich dann noch nachfragen?
denke die Reihenfolge ist lesen, nachfragen, verstehen.
schritt 1 und 2 habe ich gemacht

PS: ich dachte das Forum wäre ein Forum in dem man hilft und nicht eins in dem man irgendwelche Beiträge publiziert die dem Fragendem Vorwürfe machen ihn jedoch kein Stükchen weiter bringen(wie dein letzterer)

Hilfe

29.12.2009, 18:24

Leopold

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Ob Kwerdenker mit "euler'sche Funktion" wirklich die Eulersche $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Funktion meint? verwirrt

verwirrt

Na ja, er hat ja noch Zeit zum Nachdenken bis zum 4. Januar. (Daß diese Mathelehrer so schwere Aufgaben aber auch immer zwischen Weihnachten und Neujahr stellen müssen und den Schülern keine Zeit zur Recherche lassen ...)

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29.12.2009, 18:31

Kwerdenker

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Die Frage stelle ich mir auch Leopold (aber in der 1ten Person ^^)
Das ist nämlich auch meine Hauptfrage was diese euler'sche Funktion überhaupt ist
in den restlichen Aufgaben geht es nämlich um e bzw. e^x

und Zeit habe ich eigentlich kaum ich muss noch "Die leiden des Jungen Werthers" und ein buch über Napoleon lesen und diese dann zusammenfassen und in Form eines Vortrags präsentieren
alles in der ersten Schulwoche -_-

29.12.2009, 18:35

Elvis

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Okay, ich habe mich um einen freundlichen Ton bemüht, das zeigt der "Mathematikerwitz". Deine Frage nach der Eulerfunktion, von der du noch nie gehört hattest, habe ich vollständig durch den Hinweis auf Wikipedia beantwortet.
Dein nächster Beitrag war aber nicht nur in "phi" und p voll daneben, sondern du hast gröbste Fehler eingebaut, was meine Freundlichkeit spontan reduziert hat. Es geht nicht um Formeln, sondern zunächst mal um eine Funktion.
Immerhin kennst du nun deren Definition, das ist doch mal ein prima Anfang. In Wikipedia stehen auch ziemlich viele gute Eigenschaften der Funktion, und genau danach hast du gefragt.
Was kann ich sonst noch für dich tun ?

29.12.2009, 18:39

Elvis

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Hammer

Tut mir außerordentlich leid. Ich hätte statt zu suchen und zu antworten wirklich erst mal fragen sollen worum es geht. Können wir bitte noch mal von vorne anfangen ? Gott

Gott

Worum geht es ? verwirrt

verwirrt

Wie kann ich dir helfen ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.12.2009, 18:44

Leopold

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Zitat:

Original von Kwerdenker
Das ist nämlich auch meine Hauptfrage was diese euler'sche Funktion überhaupt ist
in den restlichen Aufgaben geht es nämlich um e bzw. e^x

Ich glaube du verwechselst hier etwas. Die Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ heißt Eulersche Zahl und die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ heißt natürliche Exponentialfunktion, meist kurz: Exponentialfunktion.

29.12.2009, 18:46

Reksilat

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Zitat:

Original von Kwerdenker
in den restlichen Aufgaben geht es nämlich um e bzw. e^x

Geht es vielleicht eher um die Exponentialfunktion? Dass man die Funktion darstellen soll hat mich schon zu Beginn stutzig gemacht, aber als "Eulersche Funktion" sollte man auch die Exponentialfunktion zur Basis e nicht bezeichnen.

Hat Dein Lehrer Dir weitere Literatur empfohlen?

Gruß,
Reksilat.

Edit: Zu spät!

29.12.2009, 18:48

Kwerdenker

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"Mein Problem ist dass ich nichtmal weiß was diese eulersche Funktion überhaupt ist und schon garnicht deren Herleitung"
so weder Punkt 1 noch 2 konnte ich aus dem Wikipedia Beitrag herauslesen

"du hast gröbste Fehler eingebaut, was meine Freundlichkeit spontan reduziert hat"
hilfreicher wäre die Nennung dieser "gröbsten Fehler" und wenn man helfen will denn ist man dabei entweder freundlich oder man lässt es einfach sein

Also deine Beiträge haben mir nicht geholfen (den Wikipedia Link kannte ich schon)
und der Rest ist denke ich alles andere als hilfreich
obwohl ich überlege den Witz einzubauen weiß nur noch nicht wie

und ich will einfach nur die FUnktion mit Formel und Herleitung, den Rest krieg ich schon selber raus

da ´bei hat mir Leopolds Eintrag weit mehr geholfen als deiner da er die Frage behandelt welche Funktion ich meine (und sein Beitrag ist weit freundlicher geschrieben)

und bitte lieber Elvis antworte nicht mehr auf meine Fragen wenn du nicht denkst dass die Antwort mir hilft (würde mich freuen wenn du antwortest)
danke

29.12.2009, 18:55

Kwerdenker

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ok ich schreib dann mal alle Fragen auf (was sie meint weiß ich auch nicht)
1. Definieren sie die eulersche Zahl
2.stellen Sie die eulersche Funktion dar und beschreiben Sie möglichst viele Eigenschaften dieser Funktion
3. ermitteln sie mit der Funktion f mit f(x)=e^x die zugehörige Ableitungsfunktion f'
4.bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der e-Funktion im Punkt P(0;f(0))
5. erläutern sie die Bedeutung der eulerschen Funktion an einem selbst gewählten Beispiel
(original abgeschrieben bis auf einen Rechtschreibfehler den ich korrigiert habe ^^)
aber die Lehrerin ist eigentlich sehr gut daher dachte ich sie meint auch wirklich euler'sche Funktion
(für die Aufgaben außer 2 möchte ich bitte keine Lösung haben(noch nicht))^^
und danke an die vielen Beiträge

29.12.2009, 18:56

Elvis

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Hast du eventuell morgen Gelegenheit, deinen Lehrer zu fragen, mit welcher Funktion du dich beschäftigen sollst ? Ich glaube nicht, dass wir bis Montag genug Zeit haben, wenn wir uns nicht auf eine bestimmte Aufgabe konzentrieren.
Aus der vollständigen Aufgabenstellung würde ich schließen, dass es um die Exponentialfunktion exp(x) geht und nicht um die Euler'sche phi-Funktion.

29.12.2009, 18:58

Kwerdenker

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wir konzentrieren uns doch auf Aufgabe 2
den Rest kann ich denke ich auch alleine
und sie hat mir nur Material zur Exponentialfunktion und zur eulerschen Zahl gegeben

29.12.2009, 19:05

Reksilat

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Hallo Kwerdenker,

Da die Frage nun nicht mehr in die Hochschulalgebra passt, verschiebe ich sie in die Schulmathematik-Analysis. Den Titel werde ich, nachdem Du das nächste Mal geantwortet hast, in e-Funktion (war: eulersche Funktion) umbenennen. Merk Dir also am besten den Direktlink (http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=406388) zu diesem Thema, damit Du es wiederfindest.

Gruß,
Reksilat.

29.12.2009, 19:07

Elvis

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Zum Teil 2.
Die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} exp:\mathbb R\to \mathbb R, x\to exp(x)=e^x \end{eqnarray*}$ ist stetig, differenzierbar, integrierbar, und es gilt die Funktionalgleichung exp(a+b)=exp(a)*exp(b). Sie ist für alle reelle Zahlen definiert, nimmt nur positive reelle Werte an, ist streng monoton wachsend, hat für x=0 den Wert 1 und für x=1 den Wert e (Euler'sche Zahl). Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus.

[Freundlich und hilfreich genug ?]

P.S. Zur Darstellung gehört vermutlich eine Zeichnung des Funktionsgraphen.

29.12.2009, 19:10

Leopold

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Will man zum Beispiel die Exponentialfunktion zur Basis 2, also $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x \end{eqnarray*}$ , differenzieren, so bestimmt man den Differenzenquotienten und formt ihn um

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2^{x+h} - 2^x}{h} = \frac{2^x \cdot 2^h - 2^x}{h} = \frac{2^x \left( 2^h - 1 \right)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2^x \cdot \frac{2^h - 1}{h} = 2^x \cdot \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung zeigt, daß man nur untersuchen muß, ob der Differenzenquotient für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einen Limes hat, wenn $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ geht. Wenn das der Fall ist, also $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ existiert, dann existiert auch $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges reelles $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und es gilt

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f'(0) \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten: Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis 2 wäre bis auf den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ wieder die Exponentialfunktion zur Basis 2.

Und statt mit der Basis 2 kann man diese Überlegung mit jeder anderen Basis $\begin{eqnarray*} a>0, a \neq 1 \end{eqnarray*}$ durchführen. Ist $\begin{eqnarray*} g(x) = a^x \end{eqnarray*}$ und existiert

$\begin{eqnarray*} g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \end{eqnarray*}$

dann existiert auch $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ , und es gilt

$\begin{eqnarray*} g'(x) = g'(0) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es eine Basis gibt, so daß $\begin{eqnarray*} g'(0) = 1 \end{eqnarray*}$ ist, denn dann gälte

$\begin{eqnarray*} g'(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

Und die Antwort auf diese Frage ist: Ja, die gibt es, es ist die Eulersche Zahl $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} = 2{,}71828\ldots \end{eqnarray*}$

Leider ist es nicht in wenigen Worten zu erklären, wie man $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ findet und berechnet.

Immerhin, das wäre einmal ein Anfang, sozusagen die "Motivation" in deinem Vortrag.

29.12.2009, 19:16

Super

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ja das mit der Verschiebung habe ich mir schon gedacht

@elvis ja super Antwort
hilfreich informativ und nett

also ist die Formel für die exponentialfunktion e^x?
wenn nicht wäre es sehr nett wenn du sie nochmal kurz anführen könntest
wie meinst du das mit der Umkehrfunktion?

danke für die Hilfe

29.12.2009, 19:40

Elvis

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Ja, die Exponentialfunktion ist $\begin{eqnarray*} exp(x)=e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} \end{eqnarray*}$ , die Summe nennt man ihre Reihendarstellung.

Für die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} exp(log(x))=log(exp(x))=x \end{eqnarray*}$ , log(x)=ln(x) heißt der natürliche Logarithmus oder auch Logarithmus zur Basis e . log ist die modernere, ln die ältere Schreibweise.

29.12.2009, 19:44

Kwerdenker

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Dankeschön
vielen Dank für eure Antworten
wenn ich mich durch diese 3 sehr gut geschriebenen Erklärungen durchgearbeitet habe werde ich sicher noch die ein oder andere Frage haben

29.12.2009, 20:03

Kwerdenker

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So hab eigentlich alles verstanden muss nur noch kurz was über den Differentialquotienten rausfinden aber das schaff ich schon alleine
falls ich noch weitere Fragen zu den Aufgaben habe werde ich die dann morgen stellen

allen die hier etwas gepostet haben danke ich sehr für die Hilfe
besonderer Dank gebührt Leopold und Elvis (der Neuanfang ist geglückt^^)
welche Punktzahl ich dann erreiche werde ich euch Montag mitteilen
falls ich keine Fragen mehr haben werde wünsche ich euch allen einen guten Rutsch ins neue Jahr

30.12.2009, 18:34

Kwerdenker

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ich verstehe den Übergang zu (und auch den Term an sich) nicht
$\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x)*f'(0) \end{eqnarray*}$
wäre nett wenn jemand diesen Term kurz erläutern könnte

30.12.2009, 19:05

Elvis

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$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!}=1+\frac x 1 + \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+... \end{eqnarray*}$ diese Reihe konvergiert absolut für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , daher kann man ihre Ableitung durch gliedweises Differenzieren berechnen, also ist $\begin{eqnarray*} (e^x)'=(1+\frac x 1 + \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+...)'=(1'+\frac x 1' + \frac {x^2}{2!}'+\frac {x^3}{3!}'+...)=(0+1+\frac {2x}{2!}+\frac {3x^2}{3!}+...)=1+\frac x 1 + \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+...=e^x \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} (e^0)'=e^0=1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (e^x)'=e^x\cdot 1 = e^x\cdot (e^0)' \end{eqnarray*}$ , aber wozu das nun gut sein soll, weiß ich nicht.

P.S. Jetzt weiß ich, wovon du sprichst, du beziehst dich auf Leopold's Motivation.
Es ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ , deshalb ist dieser Übergang einfach das Einsetzen von f'(x) und f'(0) für die Brüche, also der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Der Sinn der Sache ist: Alle Exponentialfunktionen $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ haben dieses erstaunliche Verhalten, dass es eine einfache Beziehung zwischen Funktion und Ableitung gibt. Für die eulersche Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist dieser erstaunliche Zusammenhang besonders einfach.

30.12.2009, 19:49

kwerdenker

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danke für die schnelle Antwort

ist F'(0)=1?

wenn ja dann klingt das alles sehr logisch
wenn nicht hab ichs irgendwie nicht verstanden

30.12.2009, 19:53

Elvis

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ja, alles total logisch. es gilt unter allen exponentialfunktionen a^x nur für e^x , dass (e^x)'(0)=1

04.01.2010, 17:18

Kwerdenker

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14 Punkte
Yeah LEute
danke für eure wunderbare Hilfe
ohne euch hätte ich höhstwahrscheinlich Thema verfehlt und über die mir unverständliche Phi-FUnktion referiert
so habe ich einen 14 pkt Vortrag gehalten und konnte mir so die eins sichern
Vielen Dank
(und Leopold deine Einleitung hat in AUfgabe eins für die Erklärung bzw. Herleitung der Zahl e (und für die SPannung^^) wirklich perfekt gepasst)

04.01.2010, 20:07

Elvis

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Herzlichen Glückwunsch Tanzen

Tanzen

Was ist mit dem 15. Punkt ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2010, 19:35

Kwerdenker

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naja hab einige kleine Flüchtigkeitsfehler gemacht
z.B. hab ich limx
h->0
wußte das es falsch war aber hatte wenig lust alle Formeln neu zu machen
denn hab ich an der Tafel nachher einfach diesen Term weggelassen limx
h->0
weil ich zu faul war
und ich hatte mir einen Cas vom Kumpel gehoplt weil ich meinen vergessen hatte dieser war etwas "verstellt" was das eingeben und ausgeben von Formeln erschwerte

Was sie überzeugte war mein Stichpunktzettel, denn dort stand nur die erklärung für transzendent drauf

die meisten Formeln habe ich dann " mit" meiner Klasse erarbeitet

achja hier nochma die Note aufgeteilt

Vortragsweise 13
Anschaulichkeit(ich hab wirklich kein Talent für Ordnung^^) 14
Mathematische RIchtigkeit und Vollständigkeit (dank euch) 15

jetz werde ich höhstwahrscheinlich mit 13 Punkten in die Ferien gehen (hatte mir mein Durschnitt mit 6 Punkten versaut in einer Arbeit deren THema ich sehr gut konnte (Klausur gleiches Thema 14 Pkt(weil ich einmal ein richtiges Ergebnis durchgestrichen habe^^)))

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