Symmetrischer Differenz Anwendungsaufgabe

29.12.2009, 17:36

pizzaschachtel

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Symmetrischer Differenz Anwendungsaufgabe

Hallo,
wir haben folgende Aussage nachweisen:

$\begin{eqnarray*} (A / B) \cup (B / A) = A \end{eqnarray*}$ /=\

Ich habe nun so angefangen:

$\begin{eqnarray*} (x \in A \wedge -| x \in L) \vee (x \in L \wedge -|x \in A) \end{eqnarray*}$ L = Leere Menge und -| ist Neagtionszeichen.
Jetzt weiß ich hier aber nicht weiter. Wenn ich aus der 2. Klammer das Neagtivzeichen herausziehe, kann ich das Distributivgesetzt dann nicht anwenden. Wie kann ich hier weiter verfahren? Würde mich freuen, wenn ihr mir helft und einen kleinen Tipp gebt. Danke

29.12.2009, 18:09

Elvis

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Bevor du etwas beweisen kannst, muss zumindest die Behauptung klar sein. Anders gesagt: Was willst du ? verwirrt

verwirrt

29.12.2009, 18:15

pizzaschachtel

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Ich will am ende auf $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ kommen.

29.12.2009, 18:22

Elvis

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Das kann ich nicht glauben. $\begin{eqnarray*} A=\{1,2\}, B=\{2,3\} \Rightarrow A \backslash B \cup B \backslash A = \{1,3\} \neq A \end{eqnarray*}$

29.12.2009, 18:28

pizzaschachtel

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Das ist natürlich ein gutes Gegenbeispiel Big Laugh

Big Laugh

Anhand des Beispiels würde ich nun eher sagen $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$

29.12.2009, 18:46

Elvis

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Nein, die x im Durchschnitt sind eben gerade nicht drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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29.12.2009, 18:49

Leopold

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RE: Symmetrischer Differenz Anwendungsaufgabe

Zitat:

Original von pizzaschachtel
$\begin{eqnarray*} (A / B) \cup (B / A) = A \end{eqnarray*}$ /=\

Sorry, aber das versteht man nicht. Ich kann nur Elvis zitieren: Was willst du?
Zuerst gehört die Aufgabe korrekt formuliert. Erst dann kann man an ihre Lösung denken.

29.12.2009, 19:12

pizzaschachtel

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Also eher: $\begin{eqnarray*} nicht (x \in A \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2009, 19:15

Leopold

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Wann endlich gedenkst du, die Aufgabe sorgfältig, vollständig und richtig hinzuschreiben? Wie soll man denn Fragen beantworten, wenn überhaupt nicht klar ist, worum es geht?

29.12.2009, 19:24

pizzaschachtel

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Achso Die Aufgabe ist folgende:

[attach]12695[/attach]

29.12.2009, 19:59

Elvis

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Warum nicht gleich so ? Es dürfte leicht fallen, dies nachzuweisen, wenn du bedenkst dass $\begin{eqnarray*} A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B) \end{eqnarray*}$

29.12.2009, 21:50

pizzaschachtel

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Entschuldigt, ich habe bei der Erklärung meines ösungsansatzes den Teil, der zu suchen war, einfach übersprungen.

Du sagtest: $\begin{eqnarray*} A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B) \end{eqnarray*}$
Nur ist das nicht gegeben.Wir hatten das nie und ich weiß nicht, ob ich das so annehmen darf.
Deshalb dachte ich $\begin{eqnarray*} (x \in A \wedge -| x \in L) \vee (x \in L \wedge -|x \in A) \end{eqnarray*}$ (L = Leere Menge und -| ist Neagtionszeichen). Aber da komme ich nicht weiter. Gibt es auch über meine Variante den Weg zur Lösung weiter? Ich kann ja deins nicht einfach nehmen.

29.12.2009, 21:57

Elvis

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Zitat:

Original von pizzaschachtel
Du sagtest: $\begin{eqnarray*} A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B) \end{eqnarray*}$
Nur ist das nicht gegeben.Wir hatten das nie und ich weiß nicht, ob ich das so annehmen darf.

Das musst du nicht annehmen, das kannst du beweisen, und dann daraus die Behauptung folgern.

29.12.2009, 22:10

Elvis

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Dein Ansatz ist aber auch nicht aussichtslos, denn es gilt $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\not\in \not 0 \Leftrightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ , und es gilt weiter $\begin{eqnarray*} x\in \not 0 \wedge x \not \in A \Leftrightarrow x\in \not 0 \end{eqnarray*}$ .

29.12.2009, 22:42

pizzaschachtel

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Komme mittels meinen Ansatz nun auf

$\begin{eqnarray*} x \in A \vee x \in \not 0 \end{eqnarray*}$

Kann man da jetzt sagen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2009, 13:11

Elvis

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Ja, kann man, weil $\begin{eqnarray*} A\cup \not 0=A \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 15:13

Leopold

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Wenn man das Mengenkomplement als Operation verwendet (im Folgenden durch Überstreichung gekennzeichnet), wobei man sich die vorkommenden Mengen als Teilmengen einer umfassenden Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ denken muß, dann kann man die symmetrische Differenz auch so schreiben

$\begin{eqnarray*} A \triangle B = \left( A \cap \bar{B} \right) \cup \left( \bar{A} \cap B \right) \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} A \triangle \emptyset = \left( A \cap \bar{\emptyset} \right) \cup \left( \bar{A} \cap \emptyset \right) = \left( A \cap \Omega \right) \cup \left( \bar{A} \cap \emptyset \right) = A \cup \emptyset = A \end{eqnarray*}$

Hier wurden die Regeln einer Booleschen Algebra verwendet. Im Link entsprechen $\begin{eqnarray*} \vee,\wedge,\neg \end{eqnarray*}$ den Mengenoperationen $\begin{eqnarray*} \cup,\cap,\overline{\left( . \right)} \end{eqnarray*}$ , das Nullelement ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , das Einselement $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Beachte (5),(6),(10).

30.12.2009, 16:37

pizzaschachtel

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Danke für eure Antworten. Hat mir sehr weiter geholfen Prost

Prost

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