Problem bei der Verknüpfung von Gruppen

29.12.2009, 21:06

Saliver

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Problem bei der Verknüpfung von Gruppen

Hallo Mathebegeisterte,

ich habe ein Problem beim Verknüpfen von Gruppen in einer Verknüpfungstabelle.
Die Ergebnisse der Aufgabe habe ich aus meinem Lösungsbuch, kann aber mit gesunden Menschenverstand nicht nachvollziehen, wie die auf dieses Ergebnis gekommen sind.
Die Aufgabe befindet sich im Anhang.
Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.

PS: Es handelt sich nicht um eine Hausaufgabe. Ich bereite mich auf mein Studium im nächsten Jahr vor und benötige nur etwas Hilfestellung.

Vielen Dank und Gruß,
euer Sali

29.12.2009, 21:54

Reksilat

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RE: Problem bei der Verknüpfung von Gruppen
Hallo Sali,

Schauen wir uns mal den ersten Term an: $\begin{eqnarray*} s_0^{-1}d_0s_0 \end{eqnarray*}$

Zuerst müssen wir ja rausbekommen, was $\begin{eqnarray*} s_0^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Das heißt, wir benötigen zunächst das neutrale Element dieser Gruppe, also ein Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , bei dem für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} e\circ x=x \end{eqnarray*}$ gilt. Welches ist also unser $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ?
Das Inverse von $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ ist nun das Element, welches mit $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ multipliziert gerade dieses neutrale Element ergibt. Also für welches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} s_0\circ x=e \end{eqnarray*}$ ?

Wenn Du dann $\begin{eqnarray*} s_0^{-1} \end{eqnarray*}$ hast, multiplizierst Du das erst mit $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ und das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

29.12.2009, 22:25

Saliver

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Moin Reksilat,

danke für die schnelle Hilfe.
Ich weiß, laut den Gesetzen gibt es ja für alle "a" € G genau ein inverses a € G : a kringel invers a = neutrales Element.
Aber, mein Problem ist ja, die Orientierung in der Tabelle zubehalten.
Ich weiß nicht wie ich das neutrale Element und das inverse Element eines Representanten finde.

29.12.2009, 22:55

Reksilat

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Für das neutrale Element muss doch für alle $\begin{eqnarray*} x\in D_3 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} x\circ e=x \end{eqnarray*}$ gelten. Such Dir also ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehe in die zugehörige Zeile und schaue an welcher Stelle dann nochmals $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht. Das Element in der Kopfzeile dieser Spalte ist dann das neutrale Element der Gruppe.

29.12.2009, 23:52

Saliver

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Leider kann ich dir nicht ganz folgen.
Wie kann ich deine Ratschläge möglichst logisch auf mein Beispiel beziehen?

Du schreibst, dass ich mir ein beliebiges x aussuchen soll. Daher z.B. s0.
Aber s0 kommt in der Tabelle mehrfach vor, ich kann doch nicht ein beliebiges auswählen.

Schwer in Worte zu fassen, was ich meine...

29.12.2009, 23:54

Reksilat

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In der zu $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ gehörigen Zeile kommt $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ nur einmal vor.

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29.12.2009, 23:58

Saliver

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Zitat:

Original von Reksilat
In der zu $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ gehörigen Zeile kommt $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ nur einmal vor.

richtig, aber wenn ich auf der Suche nach dem neutralen Element bin, dann muss ich für das inverse von s0 das "s0"-Element suchen.
Und das neutrale Element wäre doch nicht d0, oder?

30.12.2009, 00:02

Reksilat

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Für das neutrale Element sind die Inversen doch erstmal vollkommen irrelevant.

Zitat:

Und das neutrale Element wäre doch nicht d0, oder?

Wieso nicht? Aus der Tabelle entnimmt man doch, dass $\begin{eqnarray*} s_0\circ d_0=s_0 \end{eqnarray*}$ ist. Ebenso für alle anderen Elemente. Klar ist $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element.

30.12.2009, 01:26

Saliver

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Ich habe gedacht, dass ich mit dem neutralen Element d0 wieder d0 multipliziere und das Ergebnis daraus wiederum mit s0.
Was aber zu einer falschen Lösung führt.

Fühle mich gerade etwas aufgeschmissen, weil ich nicht weiß, was ich mit dem neutralen Element machen soll und anschließend die Elemente verknüpfe.

Ich hoffe du bist noch so gnädigt´mit mir, weil ich bei google solche ähnlichen Aufgaben nicht finden konnte.

Gruß,
Sali

30.12.2009, 01:29

Reksilat

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Wir haben doch jetzt das neutrale Element gefunden und wollen das Inverse zu $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ finden. Das habe ich doch oben auch geschrieben. Also: $\begin{eqnarray*} s_0\circ x=d_0 \end{eqnarray*}$ . Was kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur sein?

30.12.2009, 03:37

Saliver

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Danke dir, jetzt habe ich es verstanden ;-)

Natürlich ist es s0 und s0 verknüpft mit s0 ergibt d0.
Vielen Dank für deine Zeit, auch wenn es bis in die Nacht gedauert hat...

30.12.2009, 05:01

Saliver

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Aber warte, das heißt ich muss für die restlichen Aufgaben einfach diese Schritte analog befolgen. Klappt bei mir aber nicht...
Ich versuche es mal mit Aufgabe 2, auch wenn ich mich in Latex nicht eingelesen habe.

Aufgabe lautet: (invers)d120 o d0 o d120:

1. Schritt: Ich suche das neutrale Element zu (invers)d120. Dazu gehe ich in die obere Spalte d120 und suche ein weiteres d120 und finde es bei d120 o d0. Die Kopfspalte d0 ist also das neutrale Element wie in der Aufgabe zuvor.

2. Schritt: Nun suche ich das Inverse Element zu (invers)d120 mit Hilfe des neutralen Elements. Dazu nutze ich das neutrale Element d0 in der ersten Zeile und verknüpfe es mit der Spalte d0. Das Ergebnis lautet dann d0.

3. Schritt: Ich verknüpfe das zuvor gefunde d0 wieder mit dem d120 aus der Aufgabenstellung und erhalte d120.
Nun nur noch d120 mit dem d120 verküpfen und ich erhalte d240, was leider nicht richtig ist.

Alles falsch, falsch... : (

30.12.2009, 11:29

Reksilat

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Zum 1. Schritt: Es gibt nur ein neutrales Element in der Gruppe. Und dieses ist ab jetzt immer $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ .

Zum 2. Schritt: Du suchst das Inverse zu $\begin{eqnarray*} d_{120} \end{eqnarray*}$ , also musst Du auch in der zugehörigen Zeile suchen.

30.12.2009, 13:35

Saliver

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Moin Reksilat,

Ich muss doch dann die d120 Zeile mit der d0 Zeile verknüpfen und erhalte d120.
Nun d120 Zeile mit der d120 und erhalte 240.
Wo ist nun meine Gedankenlücke?

30.12.2009, 14:49

Reksilat

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Wieso willst Du Zeilen verknüpfen? Wir verknüpfen hier Elemente! Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} d_{120}\circ d_0=d_{120} \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist. Das hat aber nichts mit dem Inversen zu tun.

Wenn Du dagegen das Inverse zu $\begin{eqnarray*} d_{120} \end{eqnarray*}$ suchst, musst Du in der Tabelle die Gleichung $\begin{eqnarray*} d_{120}\circ x=d_{0} \end{eqnarray*}$ suchen. Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dann Dein Inverses zu $\begin{eqnarray*} d_{120} \end{eqnarray*}$

Um es noch mal ausführlich aufzuschreiben, hier ein Beispiel:
[attach]12704[/attach]

Die sechs rot umrandeten Einträge bedeuten der Reihe nach:
$\begin{eqnarray*} s_0\circ d_0=s_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0\circ d_{120}=s_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0\circ d_{240}=s_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0\circ s_0=d_0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} s_0^{-1}=s_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0\circ s_1=d_{240} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_0\circ s_2=d_{120} \end{eqnarray*}$

Edit: Irgendwie spinnen die Anhänge gerade. Hier noch mal das Bild:

http://www.picfront.org/d/8A6Pm7RjMS/matheaufgabe2.jpg

30.12.2009, 16:13

Saliver

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Reksilat, danke für die müh, aber genauso habe ich es auch gemacht.
Habe ausversehen von Zeile gesprochen, als ich Spalte meinte.
Mein Ergebnis, ist trotzdem d240, obwohl es eigentlich d0 sein sollte.
Verstehe nicht was ich falsch gemacht habe.

Könntest du mir nicht zeigen, mit welchen Schritten du das gelöst hättest?
Ich muss es nur einmal richtig sehen, dann kann ich es einfacher nachvollziehen.

Würde mich sehr freuen, wenn du dir kurz die Zeit nehmen könntest.

30.12.2009, 16:46

Reksilat

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Du musst zuerst, wie schon oben, das Inverse von $\begin{eqnarray*} d_{120} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Das hast Du bis jetzt noch immer nicht gemacht. Jedenfalls habe ich es nirgends gesehen. Ohne das Inverse kannst Du nunmal nicht weiterrechnen.

04.02.2010, 17:43

Saliver3

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Hallo Reksilat,

lange ist es zwar her, aber nach über einen Monat habe ich es endlich verstanden ;-).
Gut, ich gebe es zu, ich habe es Anfang Januar verstanden, als ich mich mit einem Kommilitonen zusammengesetzt habe.

Vielen Dank für deine Zeit.

Gruß,
Saliver

05.02.2010, 00:28

Reksilat

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Ich danke Dir jedenfalls für die Rückmeldung, Saliver. So was ist immer schön. smile

smile

Gruß,
Reksilat.

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