Vektorraum

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Noch eine Aufgabe...ja ich weiß.. es ist ein paar stunden vor 2010..aber mir ist die mathematik wichtiger als silvester xD

also..im anhang die aufgabe.
entweder verwirrt mich der einleitende text so sehr, dass ich die aufgaben nicht mehr kapiere, oder ich bin für das aktuelle jahr ungeeignet für mathe :x

also wenn ich mir die einleitung mal zerpflücke erhalte ich folgende aussagen:

ist Vektorraum über
gilt

sind linear unabhängig
-> haben offenbar Erzeugereigenschaften
-> davon erzeugte Teilraum ist 3-dimensionale -Vektorraum

so nun zu den aufgaben (diese aufgaben sind ja generell noch so gestellt, dass man nur das benötigt, was auch in der aufgabe drin steht..

mit a) kann ich nix anfangen..ich soll zeigen, dass

b) erinnert mich an ein axiom.. kann ich aber grad nicht zuordnen.. elegantester weg für diesen beweis -> vollständige induktion? oder indirekter Beweis?

bei vollständiger induktion würd ich halt ein gewisses gesetz suchen...ich weiß grad aber nicht, wie das heißt.. xD
es besagt sowas wie "nimmt man ein element aus einer Menge und multipliziert es mit einem belibigen Vielfachen aus der selben menge, dann ist das ergebnis auch teil der menge"

und über dieses gesetz würd ich dann anfangen.. (ist das überhaupt ein gesetz? weil logischer weise gibts da ja direkt einen widerspruch! nimmt man die menge 1, 2, ..., 100 und bildet 100*2=200, so ist das doch nicht mehr in der menge oder?)..ich glaub..das axiom was ich suche ist halt die abgeschlossenheit einer Gruppe..
und wenn ich an eine gruppe denke, dann fallen mir untergruppen ein, die 200 als ergebnis beinhalten, so stimmt die aussage doch!

aber wenn dieses gesetz gegeben ist, ich das bislang noch nicht beweisen sollte, dann muss ich es wohl an dieser stelle...d.H. ich kann mit diesem axiom nicht argumentieren.. folglich ein anderer ansatz muss her.

vlt. mit der aussagen logik über verknüpfung argumentieren?
glaub das wäre kein schöner beweis..

vlt. ich soll ja ein gruppen axiom beweisen..und soweit ich das bislang bemerkt habe, sind alle axiome so aufgebaut, dass sie sich 1. gegenseitig bedingen und 2. weitere gegebenheiten herleiten lassen.
also sollte ich vlt. mit den anderen axiomen den beweis versuchen.. (bin ich auf dem richtigen weg?^^)


c) beweis über die homomorphismuseigenschaften zusammen mit den gruppenaxiomen?


d) die matrix darstellung ist doch egtl. so

(nur spekulation/intuition grad..hab mir zur erstellung noch keine tieferen gedanken gemacht)
multipliziert mit der inversen ergibt den einheitsvektor bzw. die einheitsmatrix..
ist das eine rechtsmultiplikation dann?
zur konstruktion einer inversen haben wir einen algorithmus erklärt bekommen, der dem gaußverfahren sehr ähnlich ist.

ich hab hier leider niemanden mit dem ich mathematisch reden kann, der mir auch fruchtbare und gute ratschläge geben könnte.. also hab ich einfach mal meine aktuellen gedanken nieder geschrieben. hoffe der viele text stört euch nicht :-)

vielen Dank im Voraus!
und eine guten Rutsch ins neue Jahr!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a)
b) direkter Beweis durch einfaches Ausrechnen und unter Benutzung der Resultate aus a):
c) geht in elementarer Weise über die Definition einer -linearen Abbildung

Über d) können wir uns gerne unterhalten, wenn du a)-c) vollständig ausgeführt hast.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank schonmal für deine hilfe! :-)

ich dachte mir irgendwie mehr bei a.. aber das es schon so einfach ist :x

zu b) woher kommt denn beispielsweise diese form?
müsste nicht alpha hoch 3 da stehen?

zu c) ich werd mal in meinen LinA Büchern nach einer solchen Definition suchen, habs in den Vorlesungen noch nicht gehabt, war aber auch in letzter zeit nicht immer anwesend..

wenn ich die lsg hab, dann post ich sie! vielen dank :-)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) musst du noch berechnen.
zu b) ist eine Basis des Vektorraums , also lässt sich jedes eindeutig als rationale Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
zu c) heisst (-)lineare Abbildung des Vektorraums genau dann wenn
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

so im anhang mal meine lsg :-)

vielen dank nochmal für die hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. statt als Koeffizient in . Sonst okay.

2. Hast du irgendeine Erklärung, warum in c) vorausgesetzt wird ?

3. Was sind deine Ideen zur Konstruktion der Abbildungsmatrix ?

4. Was sind deine Ideen zur Konstruktion der Inversen ?
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

ad 1: danke schön, ist mir garnicht aufgefallen ^^

ad 2: wäre x=0 würde ja die abbildung y->xy eine y-> 0 abbildung sein, insofern 0y=y0=0 ist. was ja soviel bedeutet wie.. ich werfe irgendwas rein, und bekomme immer das selbe heraus. was das jedoch für den beweis genau bedeutet kommt mir grade nicht in den sinn..aber die antwort ist nicht weit weg.

ad 3: ich nehme einfach mein aus c erstellte abbildung.. und stelle wobei x aus 2. gilt

it also

ad 4:
zur matrix hab ich noch keine genaue ahnung.. ich hab da zwar eine vermutung, aber die ist nicht vorstellungsfertig... und was ich dann letztlich invertieren muss, ist mir auch noch unklar >.<

liebe grüße! :-) und vielen Dank
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zu c). , also liefert x=0 genau so wie jedes andere x eine lineare Abbildung. Der Bildraum ist dann der Vektorraum der Dimension 0, der nur aus dem Nullvektor besteht. Die Nullabbildung ist immer homomorph, ihr Kern ist der Urbildraum. Nur im Hinblick auf die Matrix - genauer hinsichtlich ihrer Inversen - würde die Nullabbildung Probleme machen.

zu d). Die Bilder der Basisvektoren zu betrachten ist eine vorzügliche Idee. Dann musst du aber mit arbeiten und nicht mit und .
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs mir folgender maßen gedacht..



und die diese abbildungsmatrix würde ich über den sehr gaußähnlichen invertierungs algorithmus invertieren... (nennt man diesen zufällig irgendwas mit elementarer invertierung?)
also ist die inverse nun nur noch trivial! (gezähltes lieblings wort unseres profs..)

und warum x ungleich 0 vorausgesetzt wurde ist mir gestern auf dem heimweg in der bahn eingefallen.. generell wird uns momentan gesagt, dass wenn auf den 0-vektor abgebildet wird, eine matrix nicht invertierbar ist.

berichtige mich bitte ruhig! :-)
liebe grüße und vielen dank ^^ (weise mich auch bitte auf die koreckte wortwahl hin..ist ja nun auch ziemlich elementar wichtig ^^)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Fast alles richtig.
zu c) x=0 liefert auch einen Homomorphismus, nur ist der natürlich nicht invertierbar, und auch seine Matrix nicht, die Determinante der Nullmatrix ist 0.
zu d) In der Matrix hast du einen Fehler, ich verrate dir aber nur, wo er ist, wenn du mir verrätst, wie du auf diese Matrix kommst.
Wie der Invertierungsalgorithmus heißt, weiß ich nicht, aber sonst klar. Preisfrage: Zu welchem Element gehört die inverse Matrix, und warum ?

P.S. : Trivial ist das Lieblingswort vieler Mathematikprofessoren. Meistens sind Probleme dann trivial, wenn man sie gelöst hat. Da Mathematikprofessoren sehr viel mehr Probleme gelöst haben bzw. lösen könnten als die meisten anderen Menschen, erscheinen ihnen sehr viele Problemem trivial, die anderen noch schwierig erscheinen. Da hilft nur, fleißig lernen, Probleme lösen, Mathematikprofessor werden - das ist aber nicht trivial, außer für Mathematikprofessoren. Augenzwinkern
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich seh meinen fehler...in der ersten zeile isses -x_1 und -x_2
nicht -x_2 -x_2

ich habe halt die basen angewandt.. auf die funktion f(x)..so gesehen.

so hab ich dann ja einen wert für x gehabt und musste diesen mal 1, alpha und alpha quadrat multiplizieren. diese werte lieferten dann ergebnise mit alpha ^3 und ^4, da dies aber keine basen waren, und ich mich nur auf die basen beschränkt hab, hab ich die aus aufgabe 1 erhaltenen "ergebnisse" für alpha ^4 und ^3 eingesetzt..nach einer endlosen umformung und wegkürzung, erhielt ich dann diese matrix.

konnte leider nicht früher antworten, war schon am nächsten aufgaben blatt ^^

lg
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