Erzeugendensysteme

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10.06.2004, 17:19	regano	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensysteme Hallo, kann mir jemand erklären, wie ich zu U:=<(0,3,1,-7),(4,3,2,1)> die Basis bestimmen kann, wichtig wäre mir dabei besonders der Teil mit dem Erzeugendensystem. Ich habe die beiden Vektoren waagerecht statt senkrecht geschrieben. Vielen Dank im Voraus.
10.06.2004, 17:27	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Schreib mal alles zu der Aufgabe hin. In welchem Vektorraum rechnest du, welche Basis möchtest du berechnen (Basis von U oder Basis ergänzen zu irgendwas...). 2. Das diese beiden Vektoren U erzeugen, steht schon da: U ist ja definiert als das Erzeugnis der beiden Vektoren.
10.06.2004, 17:38	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Somit hättest du ja schon ein Erzeugendensystem von U. Wenn du eine Basis von U finden sollst, welche Eigenschaft dieses Erzeugendensystems ist dan noch zu prüfen? Gruß vom Ben
10.06.2004, 19:04	regano	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich muss dann noch auf lineare Unabhängigkeit prüfen, oder? Und das wars dann schon? In der Aufagbe steht nur: "Bestimmen Sie eine Basis von U."
10.06.2004, 19:54	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da du eine Basis von U angeben sollst, musst du nur noch prüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Kannst du das allein?
10.06.2004, 22:01	regano	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das kann ich schon, dann war die Aufgabe ja eigentlich simpel. Jetzt hätt ich aber noch ne Frage: Wie kann ich den Unterraum zu einem anderen Unterraum, der aus 3 Vektoren besteht, addieren bzw. ihn mit ihm schneiden lassen?
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10.06.2004, 22:50	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind U und W zwei Untervektorräume von V, so ist $\begin{align} U+W := \{ x \in V \| x = u + w \rm{ fuer ein } u \in U \rm{ und } w \in W \} \end{align}$ und $\begin{align} U \cap W := \{x \in V \| x \in U \rm{ und } x \in W\} \end{align}$ . Oft sind solche Untervektorräume über Gleichungen definiert, die die Vektoren erfüllen sollen, die in ihnen enthalten sind. Um den Schnitt von U und W zu bestimmen, löst man dann deshalb oft ein lineares Gleichungssystem. U +W ist dagegen leichter zu bestimmen, wenn man Erzeuger von U und W kennt.
11.06.2004, 14:33	regano	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, könntest du dazu vielleicht ein kurzes Beispiel machen: z.B. mit $\begin{align} U1:=<$\array{2\\5\\8}$, $\array{4\\9\\1}$><br /> U2:=< $\array{8\\3\\5}$, $\array{1\\-8\\-5}$, $\array{-4\\3\\2}$> \end{align}$
11.06.2004, 16:50	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Is recht wenn ich ein kurzes Beispiel mache? Ich nehme U1 := < a:=(1,0,0), b:=(0,2,1) > und U2 := < c:=(2,1,0), d:=(0,0,1) >. Wir bestimmen U1 geschnitten U2. Jedes Element v = (x,y,z) von U1 geschnitten U2 laesst sich sowohl von a und b als auch von c und d erzeugen, es gibt also reelle Zahlen sa, sb, sc,sd, so dass v = saa + sbb und v = scc + sdd ist. Setzen wir diese Gleichungen gleich, erhalten wir saa + sbb - scc - sdc = 0. Schreiben wir das komponentenweise, erhalten wir drei Gleichungen sa + 0 - 2sc - 0 = 0 0 + 2sb - sc - 0 = 0 0 + sb - 0 - sd = 0 Das loesen wir: sa = 2sc, 2sb = sc, sb = sd <==> sa = 2t, sb = t/2, sc = t, sd = t/2. Fuer jedes t ist also v = 2ta + t/2 b ein Element des Schnitts, und umgekehrt hat jedes Element des Schnitts diese Form. Klammern wir das t aus, erhalten wir v = t(2a + b/2), also ist U1 geschnitten U2 = < 2*a + b/2 > = < (2,1,1/2) >

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