komplexe nullstellen der kosinusfunktion

01.01.2010, 15:25

karl02

komplexe nullstellen der kosinusfunktion

gab schonma so was, aber da kam nur raus, dass sinus nur reelle nullstellen hat. die cosinusnullstellen hab ich grad 10 minuten vergeblich gesucht. hier mal mein ansatz:

cos(x)=0
e^(ix)=-e^(-ix) darf ich jetzt log machen so einfach?
ix=log(-1)+log(e^(-ix))
ix=2log(i)-ix
ix=log(i) (x als komplexe zahl ausschreiben)
a+bi=log(i)/i
a=log(i)/i-bi

also wäre die nullstelle: log(i)/i-bi+bi=log(i)/i ist die im komplexen noch genauso perodisch, sodass die nullstellen wären: log(i)/i+k*pi?

stimmt das?

01.01.2010, 15:36

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe nullstellen der kosinusfunktion
Habe selten soviel Unsinn auf einmal gelesen... Das fängt schon an mit

$\begin{eqnarray*} e^{ix}=-e^{-ix} \end{eqnarray*}$

Warum in aller Welt soll das gelten? verwirrt

Im übrigen: Schon mal davon gehört, dass der Cosinus bloß ein "phasenverschobener Sinus" ist? Wink

01.01.2010, 17:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum bist du so böse mit karl02? Er hat doch recht. Die Bestimmung der Nullstellen der Cosinusfunktion führt genau auf diese Gleichung.
Das angewendete Logarithmus-Gesetz gilt aber nur modulo $\begin{eqnarray*} 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Ich würde seine formale Anwendung vermeiden und stattdessen

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{z_1} = \operatorname{e}^{z_2} \ \ \Leftrightarrow \ \ z_1 - z_2 \ \in \ 2 \pi \operatorname{i} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

verwenden. Dann könnte man folgendermaßen schließen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = - \operatorname{e}^{- \operatorname{i}z} \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi - \operatorname{i}z} \ \ \Leftrightarrow \ \ 2 \operatorname{i}z \ \in \ \pi \operatorname{i} + 2 \pi \operatorname{i} \mathbb{Z} \ \ \Leftrightarrow \ \ z \ \in \ \frac{\pi}{2} + \pi \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

01.01.2010, 18:06

karl02

Auf diesen Beitrag antworten »

wow, das is ja genial^^

das mit diesem modulo 2ipi zeugs wusst ich garnicht. danke, wieder was dazu gelernt Augenzwinkern

01.01.2010, 18:54

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Warum bist du so böse mit karl02? Er hat doch recht.

Ja sorry, hab die Formel

$\begin{eqnarray*} e^{ix}=-e^{-ix} \end{eqnarray*}$

nicht als Folgerung von cos x =0 gesehen, sondern dachte, er meint diese Beziehung gelte allgemein... Trotzdem, das Ganze so zu rechnen, obwohl man die Nullstellen von sin z schon kennt und daher weiss, dass wegen

$\begin{eqnarray*} \cos z = \sin (z+ \frac {\pi} 2) \end{eqnarray*}$

sich diese nur um $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ verschieben, halte ich trotzdem für einen Wahnsinn...

Neue Frage »

Antworten »

komplexe nullstellen der kosinusfunktion

Verwandte Themen