lineare abbildung nachweisen

02.01.2010, 16:50

ochrasy

lineare abbildung nachweisen

hallo
ich hab hier ne aufgabe und weiß nicht wie ich das angehen soll

f(x,y,z) := (2x+y,y-z), f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$

ich weiß nur das f(x+y)= f(x) + f(y) und f(a*x)= a*f(x) gelten muss aber ich weiß nicht wie ich das in der gegebenen funktion umsetzen soll

könnte mir da jemand helfen?

danke

02.01.2010, 17:41

Cel

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Na ja, das x+y in f(x+y) ist ein dreidimensionaler Vektor, es ist dann ein bisschen verwirrend ... Nenn das doch mal anders.

Rechne mal aus: f((a,b,c)) + f((d,e,f)). Das muss dann gleich f((a+d, b+e, c+f)) sein.

03.01.2010, 14:29

ochrasy

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und was muss ich für a,b,c,d,e und f einsetzen ??

03.01.2010, 14:55

Cel

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Gar nichts, das muss natürlich allgemein stehen bleiben. Du bekommst auf beiden Seiten einen Term heraus, der gleich sein sollte.

03.01.2010, 15:26

ochrasy

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aber wie finde ich dann raus ob es sich um eine lineare abbildung handelt

03.01.2010, 15:29

Cel

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Rechne mal aus: f((a,b,c)) + f((d,e,f)). Das muss dann gleich f((a+d, b+e, c+f)) sein.

Wenn das gilt, ist die Abbildung schon mal additiv. Die Homogenität kommt dann später.

Also: Machs einfach mal. Rechne diese beiden Sachen oben aus und guck, ob das gleiche rauskommt.

04.01.2010, 16:28

ochrasy

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ich hab jetzt für f(a,b,c)=(2a+b, b-c) und für f(d,e,f)=(2d+e, e-f)
und hab f(a+d,b+e,c+f)=[2(a+d)+b+e, (b-e)+(e-f)] ausgerechnet

aber wie rechne ich f(a,b,c) + f(d,e,f) aus?

04.01.2010, 16:37

Cel

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Zitat:

Original von ochrasy
... und hab f(a+d,b+e,c+f)=[2(a+d)+b+e, (b-e)+(e-f)] ausgerechnet

Das stimmt nicht, richtig wäre hier (2(a+d)+(b+e), (b+e)-(c+f)).

Zitat:

Original von ochrasy
aber wie rechne ich f(a,b,c) + f(d,e,f) aus?

Wie man zwei Vektoren addiert, weisst du doch? Komponentenweise.

04.01.2010, 16:45

ochrasy

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da kommt dann dasselbe raus

04.01.2010, 16:48

Cel

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Richtig. Und jetzt fehlt nur noch Homogenität. Wie du schon geschrieben hast, muss folgendes gelten.

$\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$ für alle reellen Alphas.

Bedenke, dass x auch hier ein dreidimensionaler Vektor ist, nenne ihn also ähnlich wie oben.

04.01.2010, 21:00

ochrasy

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das wäre dann f( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ a, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ b, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ c) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ f(a,b,c) ?

04.01.2010, 21:07

Cel

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Genau!

10.01.2010, 17:00

ochrasy

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hey hab noch ne andere frage wollte aber kein neues thema öffnen
also ich hab ne funktion

f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ , (x,y,z) -> (x+y+2z, -2x+2y, 3x+y, -x+y+4z)

und c1=(1,2,3,4), c2=(0,1,2,3), c3=(0,0,1,2), c4=(0,0,0,1) bilden eine basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$

und jetzt sollen wi die matrix von f bzgl. c1,c2,c3 und c4 angeben aber wie soll ich das angeben wenn es nur x,y und z gibt?

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