Stetigkeit einer Funktion f(x,y)

02.01.2010, 18:54

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit einer Funktion f(x,y)

Hallo,

ich soll die Stetigkeit folgender Funktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac{xy^2}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ mit dem Spezialfall $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$
Dass die Funktion außerhalb der Stelle (0,0) stetig ist, kann ich dadurch zeigen, dass f eine Komposition stetiger Funktionen ist.

Nun muss ich ja nur noch zeigen, dass f bei (0,0) stetig ist. Wie mache ich das? Eigentlich muss ich doch zeigen, dass die Grenzwerte von links und von rechts von f für (x,y) --> (0,0) gegen 0 geht, oder?

02.01.2010, 18:59

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Von links und rechts reicht meines Erachtens nicht. Der Grenzwert muss aus allen Richtungen existieren. Weisst du, wie du das zeigen kannst?

02.01.2010, 19:25

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht wohl nicht, einmal x gegen null und einmal y gegen null laufen zu lassen oder?

02.01.2010, 19:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt: Nein! Verwende das Epsilon-Delta-Kriterium.

02.01.2010, 19:29

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sie müssen beide gleichzeitig gegen Null gehen. Deine Vorgehensweise ist nur dann sinnvoll, wenn man zeigen möchte, dass etwas nicht stetig ist, weil dann eventuell zwei verschiedene Grenzwerte rauskommen. Hast du keine Idee, wie man das machen könnte? Dass sowohl x als auch y gleichzeitig gegen Null gehen?

Edit: Falls dir Wege etwas sagen - damit geht es auch.

02.01.2010, 19:37

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wege sagen mir leider nichts.
Wie mache ich denn dass Epsilon-Delta-Kriterium bei einer Funktion mit 2 Variablen?

Anzeige

02.01.2010, 19:38

Eierkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht ganz sicher nicht. Es gibt genügend Gegenbeispiele.
Hier geht es allgemein um Abbildungen zwischen metrischen Räumen, also wende Dich der Stetigkeit im topologischen Sinne zu.

Sry, war zu spät.

02.01.2010, 19:41

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt stetig im Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in\mathbb R^2, \end{eqnarray*}$ falls es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |(x,y) - (x_0,y_0)| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ wählbar.

@Eierkopf: Es hilft rein gar nichts, wenn man den Fragenden mit Fachbegriffen überschüttet. Wir sind hier im IR², und nicht in irgendeinem topologischen Raum. Insbesondere befinden wir uns in einem metrischen Raum, in dem die Metrik gerade Anfängern eine enorme Hilfe zum Verständnis ist.

02.01.2010, 19:50

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber jetzt hab ich doch das Problem, dass ich die Stetigkeit am Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ überprüfen will. Dann hab ich da ja stehen:

$\begin{eqnarray*} |(x,y) - \frac{0}{0}| < \delta \end{eqnarray*}$ stehen.

03.01.2010, 01:55

Eierkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi
Wieso sollte vorab $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ gelten. Das macht doch allgemein wenig Sinn.
Bei Funktionen zweier Veränderlicher sollte schon die Metrik geklärt sein.
Ansonsten kann man doch zunächst stets bei Wiki nachschauen, ob es einen Aspekt zur Lösung gibt.

03.01.2010, 02:50

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

@Eierkopf
Er sagt, in diesem konkreten Fall kann man Delta=Epsilon wählen. Im allgemeinen Fall natürlich nicht - da hängt Delta irgendwie von Epsilon ab.

@Topic
Man kann auch das Folgenkriterium nehmen mit zwei allgemeinen Nullfolgen a_n und b_n. Für die Abschätzung betrachtet man dann das Maximum $\begin{eqnarray*} m_n:=\max\{a_n,b_n\} \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

03.01.2010, 08:52

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Töffel
Aber jetzt hab ich doch das Problem, dass ich die Stetigkeit am Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ überprüfen will. Dann hab ich da ja stehen:

$\begin{eqnarray*} |(x,y) - \frac{0}{0}| < \delta \end{eqnarray*}$ stehen.

Wir müssen zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden.
$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss nun in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gewählt werden.

Ich verwende jetzt mal die von der Euklidischen Norm induzierte Metrik (oder welche musst du verwenden?):

Es gilt $\begin{eqnarray*} |(x,y) - (0,0)| = \sqrt{x^2+y^2}< \delta \end{eqnarray*}$ .

Jetzt müssen wir zeigen, dass daraus $\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(0,0)| <\epsilon \end{eqnarray*}$ folgt.

Das solltest du aber alleine hinbekommen: $\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(0,0)| = \frac{|x|y^2}{x^2+y^2} \leq \dots <\epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn du diese Abschätzung gemacht hast, schreibst du oben hin: "Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ ". Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Ich bin nicht Eierkopf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2010, 12:59

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|y^2}{x^2 + y^2} \leq \frac{|x|y^2}{ \delta ^2} < ... \end{eqnarray*}$
Wie geht es dann weiter?

04.01.2010, 13:09

Eierkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eierkopf1

PS: Ich bin nicht Eierkopf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Eierkopf1

Ich weiß das wohl, aber Du unterschreibst mit meinem Namen. Deinen kannte ich übrigens noch nicht,als ich meinen wählte.

Gruß Ei

04.01.2010, 13:12

Eierkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Töffel
$\begin{eqnarray*} \frac{|x|y^2}{x^2 + y^2} \leq \frac{|x|y^2}{ \delta ^2} < ... \end{eqnarray*}$
Wie geht es dann weiter?

Vorsicht!!!! Du vergrößerst den Nenner. Was passiert?

04.01.2010, 13:30

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, dann verkleinert sich der ganze Bruch.

Aber ich muss doch so abschätzen und umformen, dass ich nachher eine Beziehung zwischen delta und epsilon habe, oder? Kannst du mir einen Hinweis geben, wie man da vorgeht?

04.01.2010, 17:25

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eierkopf
@Eierkopf1

Ich weiß das wohl, aber Du unterschreibst mit meinem Namen. Deinen kannte ich übrigens noch nicht,als ich meinen wählte.

Stimmt. Habs geändert.
Meine Signatur wurde zu einer Zeit erstellt, als du nicht so aktiv warst (für längere Zeit). Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Töffel:

Vergrößere den Zähler so, dass du kürzen kannst.

04.01.2010, 19:36

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Zähler vergrößern, um zu kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|y^2}{x^2 + y^2} \leq \frac{|x|(y^2 + x^2)}{x^2 + y^2} = |x| \leq |(x,y)|= \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

05.01.2010, 15:37

Töffel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so richtig?

05.01.2010, 15:51

Eierkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus smile

smile

05.01.2010, 16:53

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Und als Ergänzung noch der von mir vorgeschlagene Weg mit Folgen: sind $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ zwei Nullfolgen sowie $\begin{eqnarray*} m_n:=\max\{a_n,b_n\} \end{eqnarray*}$ deren Maximum, so folgt

$\begin{eqnarray*} 0\leq |f(a_n,b_n)|= \frac{|a_n|b_n^2}{a_n^2+b_n^2}\leq \frac{|m_n|^3}{m_n^2}=|m_n|\rightarrow0 \end{eqnarray*}$ ,

was die Stetigkeit in Null bedeutet.

Cordovan

06.01.2010, 13:17

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit einer Funktion f(x,y)
Und auch den meinen, den man auch ohne Kenntnis von Wegen vestehen kann (glaube ich).

Zu zeigen ist, dass der Grenzwert von f(x,y) auf allen Wegen in die 0 existiert und gleich Null ist. Das heisst, egal, wie man in den Nullpunkt geht (ob von rechts oder links oder auf einer Sinuskurve), der Grenzwert muss gleich Null sein.
Das kann man zeigen, indem man folgendes beweist:

$\begin{eqnarray*} \forall \alpha \; \in \; \mathbb R: \lim_{x \to 0}~f(x, \alpha x) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Das reicht deshalb, weil man jede Funktion, die durch den Nullpunkt geht, dort mit einer Geraden approximieren kann.

$\begin{eqnarray*} f(x, \alpha x) = \frac{x(\alpha x)^2}{x^2 + (\alpha x)^2} = \frac{\alpha^2 x^3}{(\alpha^2 + 1)x^2} = \frac{\alpha^2 x}{\alpha^2 + 1} \to 0 \; (x \to 0) \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 15:29

hansivorseher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cordovan

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_n|b_n^2}{a_n^2+b_n^2}\leq \frac{|m_n|^3}{m_n^2} \end{eqnarray*}$ ,

10.01.2010, 15:33

hansivorseher

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, vor lauter das Zitat bearbeiten hab ich die eigentliche Frage zu stellen vergessen.

Kann man das so ohne weiteres sagen? Ich nehme ja Änderungen an Zähler und Nenner gleichzeitig vor, knn ich da trotzdem eine < - Beziehung herstellen?

hansi

10.01.2010, 15:50

hanisaufseher

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ... spart euch die Mühe, einem Trottel simple Sachen zu erklären.

War eine dumme Frage, ich hab nicht gründlich geschaut und jetzt gesehen, dass sich der Nenner ja verkleiner nicht vergrößert ... spielt uns natürlich in die Hände ...

hanssi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »