Ordnung endlicher abelscher Gruppen

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frieder Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung endlicher abelscher Gruppen
Hallo, ich habe eine Frage:
Angenommen G ist eine endliche abelsche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Angenommen |H|=m. Kann ich dann sagen ?
über eine Antwort würde ich mich freuen,
frieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@frieder

Wenn ich mich nicht irre, gilt dies genau dann, wenn die Gruppe G zyklisch ist...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Wenn ich mich nicht irre, gilt dies genau dann, wenn die Gruppe G zyklisch ist...

Ich glaub in dem Thread werd ich nur mit Gruppennamen antworten Big Laugh
und m=3.
Aber zumindest die eine Richtung stimmt, es gilt falls G zyklisch ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@kiste

Vielleicht hab ich mich schlecht ausgedrückt, aber ich meinte natürlich, dass die erwähnte Eigenschaft für alle Untergruppenordnungen m gelten sollte, was ja dann in deinem Beispiel für m=5 nicht erfüllt wäre...

Jedenfalls beweist man die Tatsache, dass endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch sind, genau unter Verwendung der Tatsache, dass die Gleichung



höchstens m Lösungen im Körper besitzt... Dies aber bedeutet: Gibt es eine Untergruppe H der multiplikativen Gruppe G des Körpers mit m Elementen, so besteht dann H genau aus den Lösungen der obigen Gleichung...
frieder Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke erstmal für die vielen Antworten. Aber leider hab ich das alles nicht so ganz verstanden. Also gilt meine Folgerung im allgemeinen nicht, oder? ...mmh. mist. Dann hab ich leider keinen Ansatz für die Aufgabe, die ich machen soll. Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben:
G eine endliche abelsche Gruppe, H Untergruppe von G, |H| und [G:H] teilerfremd. Dann hat H ein Komplement K in G, K ist eindeutig bestimmt und G=HxK.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen,
frieder
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das kommt ganz drauf an was ihr an Theorie hattet.
Ich würde das ganze mit Schur-Zassenhaus abschiessen, mit weniger Theorie ist es auch eine einfache Folgerung der Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen
frieder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Schur-Zassenhaus habe ich noch nie gehört. Hilfe. Ich glaube, da muss ich eher mit deiner zweiten Möglichkeit "Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen" argumentieren. Ich weiß zwar, was endliche abelsche Gruppen sind, stehe aber bei der Aufgabe noch ganz im Dunkeln. Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben?
grüße, frieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenschaft teilerfremd lässt sich direkt auf die Zerlegung anwenden. Entweder du kennst den Satz, oder eben nicht. Aber es hilft nichts wenn du nicht sagst was ihr bereits behandelt habt.
frieder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Also zu endlichen ableschen Gruppen hatten wir nur zwei Sätze/Bemerkungen, die sich direkt darauf bezogen:
1. Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen: Jede endliche abelsche Gruppe G erfüllt mit . Die di sind eindeutig bestimmt (Elementarteiler von G).
2. Sei (G,+) endlich abelsch. Wie viele Elemente der Ordnung n gibt es in G? Gefragt ist nach der Abbildung . Leichter zu bestimmen ist . Diese Bemerkung war eine Hinführung zur Möbius Umkehrformel.
Helfen diese Sätze bei der Aufgabe weiter? Ich kann leider keinen Zusammenhang sehen.
über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
grüße frieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Na also der Elementarteilersatz ist doch schon mal was. Kennst du auch den chinesischen Restsatz, zumindest in der vereinfachten Formulierung dass falls ggT(a,b)=1?
Wenn ja leite jetzt aus dem Elementarteilersatz her dass sich jede Gruppe eindeutig als direktes Produkt(bzw. eben Summe) vom zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung schreiben lässt.

Wende dann die Vorraussetzungen aus der Aufgabe an, wie muss dann die Gruppe H aussehen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung endlicher abelscher Gruppen
Zitat:
Original von frieder
Hallo, ich habe eine Frage:
Angenommen G ist eine endliche abelsche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Angenommen |H|=m. Kann ich dann sagen ?
frieder


Nein, denn ist die Menge aller Elemente in G, deren Ordnung Teiler von m ist.
Dazu gehören zwar alle Elemente von H, aber natürlich auch alle von anderen Untergruppen der Ordnung m.
Wenn man also weiss, dass es (bei nicht-zyklischen Gruppen) durchaus mehrere Untergruppen derselben Ordnung
m geben kann (man denke, wie kiste darauf hinweist, an das direkte Produkt), ist die Frage sofort mit nein zu beantworten.
frieder Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die rasche Antwort!
Meintest du hiermit: "Wenn ja leite jetzt aus dem Elementarteilersatz her dass sich jede Gruppe eindeutig als direktes Produkt(bzw. eben Summe) vom zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung schreiben lässt." folgendes:

Jede endliche abelsche Gruppe G erfüllt mit für alle i.

Ist es da eigentlich egal, ob man direkte Summe oder direktes Produkt schreibt? Hängt das davon ab, ob die Gruppe (G,+) oder (G,*) ist?

Könnte ich jetzt hingehen und sagen, oE sei mit l zwischen 1 und r? Dann ist das Komplement von H:
H und K sind Normalteiler, da G abelsch. zz wäre nun, dass HK=G und = {e}, wobei HK={hk: h in H und k in K}. Ist in diesem Fall HK einfach die direkte Summe von H und K? Wie zeige ich das?
Jetzt muss ich noch zeigen, dass G=HxK ist (und nicht nur isomorph dazu ist...mmh..?) und K eindeutig bestimmt ist. Dass G isomorph zu HxK ist folgt aus einem Satz in unserer Vorlesung: G isomorph zu HxK genau dann wenn H,K Normalteiler, der Schnitt die Einheit ist und HK=G ist, was ich alles schon zeigen musste. Warum gilt jetzt aber G=HxK?

Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
grüße frieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Direkte Summe und direktes Produkt sind nicht ganz dasselbe. Aber im endlichen sind sie das bis auf Isomorphie auf jeden Fall.

Wir nehmen also ohne Einschränkungen an dass G die Gestalt hat.
Ohne Einschränkungen ist außerdem wie von dir erwähnt , also das Produkt der ersten Primzahlenpotenzen die in |G| vorkommen.
Man kann dann H konkret angeben(also ohne Isomorphie). Versuche dies einmal.
K erschließt sich dann direkt.
Die Eigenschaft dass H,K normal sind ist geschenkt da G abelsch. Das der Schnitt trivial ist ergibt sich dann aus der Wahl von K
frieder Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal vielen Dank für deine tollen Antworten. Super! Aber so ganz kapiert hab ich das alles noch nicht. Was ich bisher habe:

Aufgabe
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und sei H eine Untergruppe derart, dass |H| und [G:H] zueinander teilerfremd sind. Dann hat H ein Komplement K in G, G=HxK (internes direktes Produkt) und K ist eindeutig bestimmt.

Also wir haben jetzt, dass nach dem Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen G die Form hat mit . Da gilt |G|=[G:H] |H| ist |H| ein Teiler von |G| und |H| hat die Gestalt mit für jedes i.
Stimmt das soweit? Ok, jetzt muss ich irgendwie sagen, welche eindeutige Form H hat und wie dann das Komplement K aussieht. Nur wie mach ich das? Und weshalb gilt Gleichheit und nicht nur Isomorphie? Das ist mir noch ein großes Rätsel...
Ich hab noch einen Satz gefunden, der vielleicht helfen kann (?): Sei G eine endlich zyklische Gruppe der Ordnung n. Zu jedem d|n gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung d von G.

Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar
lg frieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Ordnungen fehlt jeweils das Produkt über die j.
Außerdem muss (nach deiner Bezeichnung) entweder oder gelten und jeweils ein Fall tritt nur für jedes i auf.
Dies ist der Fall weil |H| sonst nicht teilerfremd zu [G:H] wäre!

Machen wir doch einmal ein einfaches Beispiel.
Sei wobei .
Schauen wir uns die Möglichkeiten für |H| einmal an:
1, klar dann ist H=1 und K=G
2, geht nicht denn dann ist [G:H] = 6
3, dann ist und
4, siehe Fall 3 bloß dass die Rolle von H und K vertauscht wird
6, geht nicht denn dann ist [G:H]=2
12, dann ist H=G und K=1
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