Potenzreihen |
| 03.01.2010, 01:04 | Demon123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Potenzreihen a) b) Hab leider kein Plan, wie ich da ran gehen soll, könnte mir mal jemand helfen? |
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| 03.01.2010, 01:09 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sagt dir denn Konvergenzradius etwas? Die zweite Aufgabe wird damit recht einfach. Habe mich zwar nie mit Potenzreihen beschäftigt, aber wenn du bei der ersten k=3n substituierst, dann dürftest du die ebenso einfach lösen können. air |
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| 03.01.2010, 10:13 | congo.hoango | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Substituiere im ersten Fall doch mal. Ich glaube das ist sinnvoller als . Bin mir aber auch nicht sicher. Und dann ganz normal den Konvergenzradius berechnen, so wie es im Script steht. |
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| 03.01.2010, 10:54 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Potenzreihen
Ja, tatsächlich man braucht hier einen "Plan", ohne es vielleicht zu ahnen, hast du genau den Kern der Sache getroffen... Vielleicht hilft es dir, wenn ich dir sage, wie ein Profi an die Sache herangeht und innerhalb von Zehntelsekunden (und das ohne jede Übertreibung!) die Lösung weiss... Er sieht z.B. bei der ersten Aufgabe den Ausdruck n+4 im Zähler und ersetzt ihn sofort durch n, den Ausdruck im Nenner ersetzt er sofort durch , aus dem ganzen Bruch wird damit also 1/n (genauer: der Bruch kommt diesem Wert für großes n beliebig nahe!)... Nun weiss er, dass die Reihe mit dem allgemeinen Reihenglied 1/n divergiert, aber eben gerade noch (oder gerade schon, je nach Blickwinkel), d.h., wenn ich es durch das "Anhängsel" in irgendeiner Weise noch "verkleinern" kann, wird die Reihe dann konvergieren... Dazu muss aber nur einfach sein, was das Innere eines Kreises um i mit dem Radius 1 beschreibt... Nachdem also das alles wie ein Film vor seinem geistigen Auge abgelaufen ist (wie gesagt innerhalb von Zehntelsekunden!) , dann, und erst dann, wird er, die Lösung schon vor Augen, anfangen, den Konvergenzradius unter Benützung der konventiellen Formeln rein formal auszurechnen... Edit: Selbstverständlich ist das, was ich oben beschrieben habe, um nur ja keine Mißverständnisse aufkommen zu lassen, noch keine Lösung der Aufgabe, aber es hilft doch sehr, wenn man schon bevor man anfängt zu rechnen, weiss, was am Ende dabei herauskommen sollte... 
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| 03.01.2010, 11:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein bischen OT: Das erinnert mich zurück an meiner Analysis 1&2 Prüfung. Prof. schreibt eine Reihe aufs Papier(etwas komplizierter als die hier, KR war glaub ich 4 oder so) und fragt mich ob ich ihm den KR nennen kann. Habe dann die von Mystic beschriebene Methode angewandt und dann die Lösung sagen können. Das war dem Prof. schon genug und er meinte ich müsse es jetzt nicht mehr ausrechnen 
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| 03.01.2010, 14:21 | congo.hoango | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wie ist das eigentlich, wenn man die Aufgabe mittels des Konvergenzradius löst. Bestimmt man damit nicht die ABSOLUTE Konvergenz? |
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| 03.01.2010, 15:42 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja schon, doch hier gibt es ja folgendes Problem: Wären es reele Zahlen, wär das alles kein Problem, dann wäre b) konvergent im Intervall [-6,-4], aber bei komplexen Zahlen soll das ja nich so gehen!? 
Wäre nett wenn man mir hier nochmal helfen könnte. |
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| 03.01.2010, 17:51 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Bereich der komplexen Zahlen muss ich doch dann r als konvergenzradius angeben und um x0 drehen lassen, r=1 im fall b und x0=-5, nur wie schreib ich das dann, damit es fachlich richtig is und ich nich millionen punkte wegen form abgezogen kriege? |
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| 03.01.2010, 19:46 | gast4000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
öhm, doofe frage, aber einen genauen wert für z gibt es nicht, oder? zum beispiel z= a + bi und a<2b oder ähnlich?! es bleibt bei |z - i|< 1 bzw |z + 1|<1 wenn mich nichts täuscht?. |
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| 03.01.2010, 20:35 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein z ist eine beliebige komplexe zahl, mit anderen worten: z=a+bi. |
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| 03.01.2010, 20:55 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ich jetz bei a) , als Ergebnis habe, dann müsste ich doch schon fertig sein, oder? Ich weiß nich, wie ich das dann aufschreiben soll... 
bei b) kommt doch dann |
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| 03.01.2010, 22:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, denn das ist falsch. Wähle z.B. z = 1 + i. |
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| 03.01.2010, 22:24 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja und was mach ich jetz??? |
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| 03.01.2010, 22:29 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Lehrbuch aufklappen und nachsehen, was dir der Konvergenzradius sagt. |
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| 03.01.2010, 22:47 | Demon153 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was der Konvergenzradius mir sagt, dürfte ziemlich klar sein: Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt x0 und mit Radius r sowie möglicherweise aus einigen Randpunkten. das heißt bei mir müsste noch das = weg, also nur kleiner als. sonst noch was? |
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| 03.01.2010, 23:23 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke genau darauf wollte WebFritzi hinaus. |
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| 03.01.2010, 23:28 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jepp. Und nun also noch den Rand betrachten. Klar, dass die Reihe für z = 1 + i nicht konvergiert. Aber was ist für alle anderen z auf dem Rand? Z.B. z = i - 1? Qualitativ ist die Frage: für welche t aus (0,2pi) konvergiert die Reihe Mit Fourieranalyse und der richtigen zu entwickelnden Funktion lässt sich diese Frage relativ einfach beantworten. |
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