Beweis: Automorphismus |
| 04.01.2010, 13:54 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Beweis: Automorphismus ich habe folgendes zu beweisen: Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie: (Aut(V),°) ist eine Gruppe. Hinweis: Hierbei bezeichnet Aut(V) die Menge aller Automorphismen f: V->V und ° die Verkettung von Abbildungen. Ich habe gar keinen Plan, was überhaupt zu tun ist und wie man anfängt. Vielleicht könntet ihr mir helfen?! Edit: Hilferuf im Titel entfernt. Gruß, Reksilat. |
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| 04.01.2010, 14:19 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, zuerst einmal musst du dir klar werden: Was ist eine Gruppe? Der Rest ist dann relativ einfach. |
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| 04.01.2010, 14:38 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also eine Gruppe ist quasi eine Menge mit einer Verknüofung für die gewisse Axiome erfüllt sind (AG, NE, IE, ggf. KG). In unserem Beispiel würde das heißen: Die Menge V mit dem Paar (V,°) ist eine Gruppe, wenn °: V->V ist, also wenn die Axiome erfüllt sind. Automorphismus bedeutet, dass V=V (steht ja schon der Einfachbarkeit da) und dass unsere Abbildung f bijektiv ist. Ich schätze der Ansatz ist nun der, dass man formal überprüfen muss, ob das Paar (Aut(V),°) die GRuppenaxiome erfüllt?! Aber wie geht man da ran, klar ist mir z.B. das Assioziativgesetz geläufig, aber ich kann das irgendwie nicht darauf anwenden.... |
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| 04.01.2010, 14:40 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das ist jetzt wahrlich kein erstaunlicher Ansatz dass man die Definition nachweist 
Was heißt denn assoziativ? Schreibe es einfach einmal konkret in diesem Fall auf. Wann sind denn 2 Funktionen gleich? |
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| 04.01.2010, 14:49 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
assoziativgesetz allgemein: (a°b)°c = a°(b°c) Das würde z.B. bei Funktionen bedeuten, wenn f: A->B und g: B->C und h: C->D ist, dass (f(x)°g(x))°h(x) =(f(x)°(g(x)°h(x)) A->D=A->D Bijektiv heißt ja, dass die Abbildungen umkehrbar sind, also dass f(x)=f^-1(x)=g(x) (oder?!) Zwei Funktionen sind gleich den rest weiß ich eben nicht. da liegt ja mein problem. |
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| 04.01.2010, 14:59 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Funktionen sind alle auf V, also das mit A,B,C,D vergiss mal schnell wieder. Was soll den bitte (f(x)°(g(x)°h(x)) bedeuten?! Schau dir bitte nochmal genau an was Komposition bedeutet. f(x)=f^-1(x) macht im Allgemeinen auch wenig Sinn. Bevor du irgendwelche Zeichen hinklatscht sei dir immer bewusst was sie eigentlich bedeuten |
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| 04.01.2010, 15:04 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... ist bereits zumindest irreführend: Man kann nicht Bilder verketten, sondern Abbildungen. Zu zeigen ist (f ° g) ° h = f ° (g ° h). Das geht so: ((f ° g) ° h)(x) = (f ° g)(h(x)) = f(g(h(x))) und (f ° (g ° h))(x) = f((g ° h)(x)) = f(g(h(x))), wie Zeile vorher ganz rechts. (Sorry kiste: Hab deine Antwort nicht bemerkt.) |
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| 04.01.2010, 15:07 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also erstmal danke, dass du mir zu helfen versuchst. Allerdings: 1. Klar sind MEINE Funktionen alle auf V. Ich wollte es nur für die bessere Unterscheidbarkeit mit A,B,C verdeutklichen (dass ich das kapiert habe). 2. Genau das "(f(x)°(g(x)°h(x))" hat unser Prof. mal notiert. Wird also sicher stimmen, was ich da hingekritzelt habe. Sag doch einfach, dass du sicher eher darauf hinaus warst: f(x)°g(x)=f(g(x)) 3. Auch hier, sorry, mein Fehler, aber es war suicher klar, dass ich die Umkehrabbildung meinte (aus dem Kontext sehr leicht ersichtlich)... |
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| 04.01.2010, 15:09 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@wisili Danke für deine Antwort. Das, was du da schreibst, verstehe ich soweit. ABER ich weiß immer noch nicht, wie ich das mit demm allgemeinen f: V->V hier zeigen soll .... |
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| 04.01.2010, 15:13 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach der Schreibweise deines Profs wäre die Funktion f angewandt auf das Argument y so zu schreiben: f(x)(y) Naja darüber lässt sich mal sehr streiten, die Notation ist mehr als ungewöhnlich. Das von wisili ist schon die allgemeine Lösung für assoziativ. Fehlt noch dass neutrale Element und die Inversen(die sind allerdings trivial) |
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| 04.01.2010, 15:21 | Fünkchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Assoziativ ist die Verkettung von Funktionen ja im Allgemeinen. Das inverse Element ist die Umkehrfunktion, die existiert, weil der Homomorphismus bijektiv ist. Dann existiert auch die folgende Verkettung: Mit id gehst du einmal hin und zurück, machst also garnichts; ist also das neutrale Element weil . Noch mal sauber aufschreiben und freuen. Dann machst'e gleich weiter warum die Verkettung Assoziativ ist und warum eine bijektive eine Umkehrfunktion hat. So, haut mich! Dass die Menge V mit Operation einen K-Vektorraum bildet ist glaub ich egal. @kiste: lies bitte noch mal Monoid und Translation |
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| 04.01.2010, 15:24 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bewweis: Gruppenaxiom 1: Assoziativgesetz ((f ° g) ° h)(x) = (f ° g)(h(x)) = f(g(h(x))) und (f ° (g ° h))(x) = f((g ° h)(x)) = f(g(h(x))) Das ist schon alles? Mehr nicht?! Und f=g=h ?! (Also ist das so?) Gruppenaxiom 2: Neutrales Element e (e°f)(x)=(f°e)=f(x) oder wie? Gruppenaxiom 3: Inveres Element (f^-1 ° f) (x) = (f ° f^-1) (x), also (f^-1 ° f) (x) = (f^-1 (f(x))=? (f ° f^-1) (x) = (f (f^-1(x))=? |
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| 04.01.2010, 15:30 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du musst bevor du an die Inversen gehen kannst doch ersteinmal das neutrale Element bestimmen. Fünkchen hat da auch schon ziemlich viel verraten(bitte keine Komplettlösungen!). Aber auch das ist völlig kanonisch zu wählen. Es ist übrigens nicht egal dass V ein K-VR ist. Man muss noch zeigen dass f°g ebenfalls ein Automorphismus ist für f,g Automorphismen @Fünkchen: Ich habe in deinem Thema bereits geantwortet, warum sollte ich nochmal reinschauen? |
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| 04.01.2010, 15:35 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie bin ich dazu aber zu dämlich..., das neutrale Elemnt ist sonst jaoft 1..., aber das macht ja hier keinen Sinn... |
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| 04.01.2010, 15:38 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja bei Zahlen nennt man das neutrale Element 1. Hier haben wir aber Funktionen. Welche Funktion verändert den nicht wenn man sie verknüpft, welche lässt also alles gleich? |
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| 04.01.2010, 15:49 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Funktion f(1) ?! |
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| 04.01.2010, 15:52 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was soll denn f(1) für eine Funktion sein? Nimm doch einmal an du hast eine beliebige Funktion f. Jetzt suchst du eine Funktion e so dass f(e(x)) immer dasselbe ergibt wie f(x). Wie kannst du e(x) also wählen? |
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| 04.01.2010, 15:54 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
e(x)=f(x) ?! Keine Ahnung... oder als Umkehrung e(x)=f^-1(x) |
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| 04.01.2010, 15:58 | Fünkchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn f und g Automorphismen sind und h ist die Verkettung, dann ist f(g(e))=f(e)=e kurz h(e)=e f(g(ab))=f(g(a)g(b))=f(g(a))f(g(b)) kurz h(ab)=h(a)h(b) Da f und g bijektiv sind, ist die Verkettung h ebenfalls bijektiv. Die Verkettung ist also ebenfalls ein Automorphismus. |
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| 04.01.2010, 16:02 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein leider nicht. Es geht hier um reines Zeichen vergleichen. Streng doch einmal den Denkapparat an. Also: f(e(x)) = f(x). Wenn f injektiv ist folgt also was? @Fünkchen: Bitte halte dich auch an unser Prinzip "Mathe online verstehen!" Keine Komplettlösungen bitte. Das bringt einfach nichts, zumal Saskia noch nicht einmal so weit ist eine Komplettlösung zu erkennen |
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| 04.01.2010, 16:12 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Injektiv heißt: g*f=id x Also ist e=id x oder was?!?! |
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| 04.01.2010, 16:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Puh das heißt zwar nicht injektiv, aber id(x) ist trotzdem richtig! Weißt du denn was diese Funktion macht, also was id(x) ausgewertet ist? Und bitte bitte bitte: Lerne einmal formal etwas aufzuschreiben. Werde dir über jedes Zeichen klar was da steht. Und lese dein Skript sehr genau. Definitionen wie: "Injektiv heißt: g*f=id x" sind einfach grottenfalsch |
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| 04.01.2010, 16:24 | Fünkchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Klar ist doch die Definition id(x)=x und dass dann f(id(x))=f(x) und id(f(x))=f(x) in Verkettungsnotation und Gibt es f, so gibt es auch , zu beweisen ist die Gleichung =id und andersherum. |
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| 04.01.2010, 16:24 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Laut meinem Skript bedeutet injektiv, dass ein g (wie oben angebgebn, sorry, vertippt: g°f=id(x)) existiert, welches Linksinverse zu f ist. id(x) ist also nicht mehr als die Verkettung von g und f, was widerrum x ist. |
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| 04.01.2010, 16:59 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auflockerungspause (ein paar Bemerkungen zwischendurch): Beim Verketten von Funktionen (oder Abbildungen) gilt immer Assoziativität. Das ist gar nichts Besonderes von Automorphismen. Und mit der Vektorraumstruktur hat es hier überhaupt nichts zu tun. Die 1 (Namenssymbol ist egal!) in der Gruppe zeichnet sich durch eine einzige Eigenschaft aus: Für alle Automorphismen f der vorliegenden Aufgabe muss gelten: f ° 1 = f (Neutralität) Beachte 1 ist hier ein Automorphismus, keine Zahl. Es bleibt bloss zu überlegen, ob es so einen gibt. Das Inverse f* (Namenssymbol ist egal!) von f ist der Automorphismus mit der Eigenschaft: f* ° f = 1. Es bleibt bloss zu überlegen, ob es zu jedem f so ein f* gibt. |
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| 04.01.2010, 17:13 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich blick einfach nicht durch.
Aber, wenn man doch zeigen muss, dass (Aut(V),°) eine Gruppe ist, muss man doch zeigen, dass die Gruppenaxiome gelten und da die Assoziativität dazu gehlrt, muss man doch auch diese zeigen oder etwa nicht?
Also ich denke schon, dass es so etwas gibt. Wenn man sich überlegt (und so hatte ich es verstanden), dass gelten soll (f°NE)(x)=f(NE(x)) ist dasselbe wie f(x), dann muss doch NE(x)=x sein oder nicht?!
Da Automorphismus=bijektiv, muss es ja eigentlich zu jeder solchen Abbildung so etwas geben. |
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| 04.01.2010, 17:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dabei war das dein bislang bester Beitrag 
Alles was du gesagt hast war richtig. Übrig bleibt zu zeigen: Mit ist auch . Du musst also zeigen dass diese auch lineare Abbildungen sind(falls ihr das noch nicht hattet) |
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| 04.01.2010, 17:22 | Fünkchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also es gibt hier vier neutrale Elemente Addition: 0 Multiplikation: 1 Vektoraddition (äußere Algebra): Nullvektor (da hab ich geschrieben e, weil ...) Verkettung: id ... weil es auch neben Aut(V) auch Aut(G) auf einer Gruppe G gibt |
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| 04.01.2010, 18:12 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Äußerung von Fünkchen verwirrt mich jetzt wieder... |
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| 04.01.2010, 18:18 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir reden aber immer nur von der Gruppe der Automorphismen und da gibt es nur genau ein neutrales Element (ein Automorphismus). |
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| 04.01.2010, 18:19 | SaskiaMona | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Willst du mir damit sagen, ich soll seinen letzten Post quasi ignorieren? Weil du meintest doch, dass was ich zum NE sagte, wäre richtig gewesen?! |
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| 04.01.2010, 18:25 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja NE ist die Identität, d.h. jene langweilige Abbildung, die jedes x auf x abbildet. Und weil das immer ein Automorphismus ist (man spricht vom trivialen), ist dieses Axiom gesichert. |
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| 04.01.2010, 19:02 | Fünkchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, wenn du sagst id ist ein Homomorphismus: dann redest du auch von der Gruppe V mit + |
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| 04.01.2010, 20:55 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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| 04.01.2010, 21:02 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Id operiert zwar auf V, bildet mit allen anderen Automorphismen aber eine Gruppe («ausserhalb» V), was zu beweisen ist. Das Einzige, was ein wenig mit dem Vektorraum zu tun hat, ist die Abgeschlossenheit der Gruppe, die noch zu zeigen wäre, wie kiste schon vorgeschlagen hat:
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