zyklische Galois-Erweiterung

04.01.2010, 14:29	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Galois-Erweiterung Hi, ich versuche mich momentan an einer Aufgabe aus dem Algebra-Buch von Siegfried Bosch. Sie lautet: "Sei $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ein Teilkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} L\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ eine zyklische Galois-Erweiterung vom Grad 4 ist. Man zeige: $\begin{eqnarray} L\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ besitzt genau einen echten Zwischenkörper $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ und dieser ist in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ enthalten." Die Galois-Gruppe muss die Gruppe $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray}$ sein, da dies die einzige zyklische Gruppe der Ordnung 4 ist. Da $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ als einzige echte Untergruppe die $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ besitzt, gibt es nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie auch nur einen echten Zwischenkörper von $\begin{eqnarray} L\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Daraus folgt schon mal der eine Teil der Behauptung. Nun aber zum schwierigeren Teil: "Der Zwischenkörper $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ." Ich könnte das Gegenteil annehmen, nämlich, dass $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ enthalten ist. Nun meine Frage: Reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} i \notin E \end{eqnarray}$ oder ist das zu wenig? Wenn es ausreicht, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist, dann meine Frage: Warum reicht es aus? Danke, Ciao, Thorsten
05.01.2010, 18:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zyklische Galois-Erweiterung Hallo Thorsten, Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} i\not\in E \end{eqnarray}$ ist, reicht nicht, da ja zum Beispiel auch $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2}i):\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ eine nichtreelle Erweiterung vom Grad 2 ist, die nicht $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ enthält. Nimm an, dass Du zwei komplexe Nullstellen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{\alpha} \end{eqnarray}$ hast. Was sind denn dann $\begin{eqnarray} \alpha+\overline{\alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha\cdot\overline{\alpha} \end{eqnarray}$ ? Was kann man mit diesen Elementen schönes konstruieren? Gruß, Reksilat.
06.01.2010, 12:34	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, danke für deine Antwort. Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist in der algebraischen Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2}i):\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ zwar das Element $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \cdot i \end{eqnarray}$ enthalten, aber nicht die Elemente $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ . Ich hab anfangs fälschlicherweise angenommen, dass jeder Körper, der $\begin{eqnarray} \sqrt 2 i \end{eqnarray}$ enthält, automatisch auch $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ enthalte müsse, aber das ist falsch. Gut. Ich nehme nun an, dass ich zwei komplexe Nullstellen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{\alpha} \end{eqnarray}$ habe. Dann ist $\begin{eqnarray} \alpha+\overline{\alpha} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha\cdot\overline{\alpha} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Die komplexe Konjugation ist ein Automorphismus (auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , aber auch eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ) und hat Ordnung 2, genauso wie der einzige Zwischenkörper, den es gibt. Also kann ich doch sagen, dass die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} \sigma: L \to L, \ \sigma(\alpha)=\overline{\alpha} \end{eqnarray}$ ein Element der Galois-Gruppe der Erweiterung ist?! Muss ich dann den Fixköper $\begin{eqnarray} L^{<\sigma>} \end{eqnarray}$ betrachten? Viele Grüße, Thorsten
06.01.2010, 15:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Fixkörper der komplexen Konjugation kann man das auch beschreiben, worauf ich hinauswollte. Welches sind denn gerade die Elemente, die unter Konjugation festbleiben?
06.01.2010, 15:20	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das sind gerade die reellen Elemente, also alle Elemente $\begin{eqnarray} \alpha \in L \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathfrak {Im}(\alpha)=0 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt dann die Behauptung. War ja gar nicht so schwer. Danke nochmals für die Hilfe.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »