Zylinderberechnung

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04.01.2010, 14:49	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zylinderberechnung Ich habe ein riesiges Problem mit einer Aufgabe und benötige ganz dringend Hilfe. Die Aufgabe lautet: Bei der Herstellung von zylindrischen 1-Liter Dosen soll möglichst wenig Weißblech verbraucht werden. Wie müssen Grundkreisradius x und die Höhe in diesem Falle gewählt werden? Ich weiß überhaupt nicht wie ich mich an diese Aufgabe annähern soll.... Danke für alle Antworten
04.01.2010, 14:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst also eine zylindrische Dose mit einem Volumen von 1-Liter herstellen. Welchen Zusammenhang von Volumen und Grundkreisradius und Höhe kannst du denn direkt aufstellen? Das ganze ist übrigens eine Optimierungsaufgabe, habt ihr so etwas schonmal im Unterricht gemacht?
04.01.2010, 15:09	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die Formel für Volumen ist : V=pi * r² * h Ich verstehe diese Aufgabe nicht, weil ich mit den ganzen Formeln ja nichts anfangen kann. In der Schule wird nichts erklärt das ich es nachvollziehen könnte. Was mach ich denn mit der Formel nun ?
04.01.2010, 15:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr denn schon einmal so eine Optimierungsaufgabe gehabt? Sagen dir die Begriffe Extremalbedingung, Nebenbindung und Zielfunktion etwas?
04.01.2010, 15:32	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, sagen mir gar nichts. Wir hatten mal ne Aufgabe mit nem Rechteck mit aufgesetzdem Halbkreis. Die Aufgabe war auch so doof.
04.01.2010, 15:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann wollen wir uns da mal dran tasten. Wir sollen ja eine "optimale Dose" berechnen, also eine Dose für deren Herstellung man möglichst wenig Blech braucht. Wie könntest du denn den Blechverbrauch für so einen Zylinder bestimmen, also wie würdest du die Oberfläche von einem Zylinder berechnen?
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04.01.2010, 16:06	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab ja sowas von keine Ahnung. . .
04.01.2010, 16:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus was für Teilen besteht denn ein Zylinder?
04.01.2010, 16:11	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen. Zwei Kreise, also den Radius, bzw Durchmesser, die Höhe....
04.01.2010, 16:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, also haben wir die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche, die ja einfach nochmal die Grundfläche ist, für die wir später Metall brauchen. Wie berechnen wir jetzt die Fläche dafür?
04.01.2010, 16:16	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ag= pi * r² Am= 2pi * r * h
04.01.2010, 16:17	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben aber kein r und kein h
04.01.2010, 16:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das r und h bestimmen wir gleich erst, das ist ja die Aufgabe Ok, also haben wir jetzt eine Formel für die gesamte Fläche eines Zylinders, $\begin{eqnarray} A_z=2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h \end{eqnarray}$ , das entspricht auch unserem Metallverbrauch. Und in der Aufgabe steht, dass dieser Metallverbrauch so klein wie möglich sein soll. Das ist unsere Extremalbedingung, zumindest haben wir das damals so genannt. Wir sollen jetzt den Radius und die Höhe der Dose so bestimmen, dass der Materialverbrauch der Dose "extrem klein" wird. Um das ganze zu bestimmen, brauchen wir jetzt die Nebenbedingung. Wir können nämlich nicht jede Dose haben, unsere Dose muss eine bestimmte Bedigung erfüllen, die auch in der Aufgabe angegeben ist. Welche wird das wohl sein?
04.01.2010, 16:37	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das wenig Material benötigt wird.
04.01.2010, 16:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne. das wollen wir ja erreichen. Aber wir wissen noch etwas über die Dose, und zwar was für ein Volumen die haben wird.
04.01.2010, 16:47	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, sorry.
04.01.2010, 16:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben also angegeben, dass die Dose ein Volumen 1 Liter hat, den Radius und die Höhe werden ja aber immer in cm angegeben. Am besten wäre es also, wenn die das ganze in cm³ umrechnen. Welche Gleichung können wir dann für das Volumen aufstellen?
04.01.2010, 17:07	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Liter = 1000 cm³ V=1000 cm³ und dann ? 1000 cm³ = pi * r² * h ??????????????????
04.01.2010, 17:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau Wir haben jetzt unsere Extremalbedingung $\begin{eqnarray} A_z=2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h \end{eqnarray}$ und unsere Nebenbedingung $\begin{eqnarray} 1000 = \pi \cdot r^2 \cdot h \end{eqnarray}$ . Der nächste Schritt bei dieser Art Aufgaben ist, die Nebenbedingung zu einer Variablen hin aufzulösen, also in dem Fall entweder nach r oder nach h. Welche Variable man wählt ist relativ egal. Der Sinn dahinter ist folgender: Wir haben eine Einschränkung, wie die Dose später aussehen muss, sie muss ja nunmal 1 Liter Volumen haben. Dadurch können wir nun eine Beziehung zwischen dem Radius r der Grundfläche und der Höhe h des Zylinders herstellen, indem die Gleichung zu einer Variablen hin auflöst. Da wir ja sowohl in der Extremalbedingung wie auch in der Nebenbedingung das selbe r und das selbe h haben (es handelt sich ja immer noch um die gleiche Dose), können wir nach dem Umformen eine Variable in der Extremalbedingung ersetzen. Wenn wir das gemacht haben, haben wir nur noch eine Variable in der Extremalbedingung stehen und können uns eine Funktion daraus basteln, von der wir dann einen Extrempunkt bestimmen.
04.01.2010, 17:22	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
1000=pi * r² * h /: (pir²) 1000/(pir²) = h ??
04.01.2010, 17:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, du hast jetzt die Nebenbedingung nach h aufgelöst. Da es sich hier ja um das selbe r und das selbe h wie in der Extremalbedingung handelt, können wir das ganze dort einsetzen, und erhalten eine Gleichung mit einer Variablen. Diese Gleichung wird zu unserer Zielfunktion. $\begin{eqnarray} A(r)= 2 \cdot \pi \cdot r^2+2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1000}{\pi \cdot r^2} \end{eqnarray}$ . Die kann man natürlich noch etwas vereinfachen durch Ausklammern und Kürzen. Ich hab sie jetzt einfach mal A(r) genannt, da wir ja den Flächeninhalt A des Zylinders bestimmen, und r unsere übriggebliebene Funktionsvariable ist. Diese Funktion gibt uns in Abhängigkeit vom Radius die Oberfläche des Zylinders an, und unsere Oberfläche soll ja minimal werden. Also müssen wir von dieser Funktion nur noch einen Tiefpunkt bestimmen.
04.01.2010, 17:34	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Womit ich jetzt ein wenig überfordert bin.
04.01.2010, 17:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hast du den Schritt bis zur Bestimmung von $\begin{eqnarray} A(r)= 2 \cdot \pi \cdot r^2+2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1000}{\pi \cdot r^2} \end{eqnarray}$ verstanden?
04.01.2010, 17:37	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bis dahin ist alles klar ...
04.01.2010, 17:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann müssen wir davon jetzt einen Tiefpunkt bestimmen. Was muss man zur Bestimmung eines Hoch- oder Tiefpunkts einer Funktion machen?
04.01.2010, 17:45	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Ableitung =0 setzen?????
04.01.2010, 17:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau Wir bestimmen die erste Ableitung (und weil wir sie später brauchen werden am besten auch noch direkt die zweite Ableitung) und setzen die erste Ableitung gleich null und rechnen aus.
04.01.2010, 18:06	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube meine Ableitung ergibt keinen Sinn
04.01.2010, 18:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann poste sie mal und wir gucken drüber
04.01.2010, 18:22	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nen großes Problem mit pi und r und nem Bruch beim ableiten. Ich hab keine Ahnung. Kannst du die erste Ableitung machen? Dann weiß ich vielleicht anhand des Beispiels wie die zweite funktioniert.
04.01.2010, 18:26	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist es ist schon viel zu spät. Ich hab Tanzunterricht. Wieviele Stunden sind wir denn schon beschäftigt ?
04.01.2010, 18:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Behandel das Pi einfach wie jede andere Zahl. Ob du jetzt $\begin{eqnarray} 2 \cdot \pi \cdot r^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2 \cdot r^2 \end{eqnarray}$ da stehen hast, Pi ist einfach nur eine Zahl mit der das ganze multipliziert wird. Also bekommt man z.B. für $\begin{eqnarray} f(x)=4 \cdot \pi \cdot x^2 \Rightarrow f'(x)=2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot x =8\cdot \pi \cdot x \end{eqnarray}$ . Bei Brüchen hast du 2 Möglichkeiten. Entweder du wendest die Quotientenregel an, oder aber du formst dir das um, du kannst nämlich schreiben $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2}=x^{-2} \end{eqnarray}$ (die zweite Möglichkeit ist hier übrigens schöner ) Edit: Ist schon etwas länger, aber das macht nichts, viel Spaß beim Tanzunterricht, ich werd den Abend auch noch hier sein Und wir sind auch fast fertig, es fehlt nicht mehr viel.
04.01.2010, 23:24	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
sooooo....
04.01.2010, 23:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Willkommen zurück, schön getanzt? Kurze Erinnerung, wir wollten die Ableitung von $\begin{eqnarray} A(r)= 2 \cdot \pi \cdot r^2+2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1000}{\pi \cdot r^2} \end{eqnarray}$ bestimmen, um einen Tiefpunkt zu berechnen
04.01.2010, 23:44	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ich hab dir ne Mail geschrieben. Ich muss jetzt dringend schlafen, hab dolle Kopfschmerzen, bin aber morgen wieder da....
05.01.2010, 17:53	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
So wo war ich noch gleich ?
05.01.2010, 21:01	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
So, Chorprobe vorbei, gucken wir mal weiter was mit dem Zylinder wird Kurze Zusammenfassung, wir hatten die Aufgabe einen Zylinder mit möglichst wenig Blech zu konstruieren, allerdings muss der Zylinder ein Volumen von V = 1 Liter = 1000 cm³ haben. Wir haben dann zwei Gleichungen aufgestellt (Extremalbedingung und Nebenbedingung) und etwas umgeformt/eine Variable ersetzt. Am Ende haben wir $\begin{eqnarray} A(r)= 2 \cdot \pi \cdot r^2+2 \cdot \frac{1000}{r} \end{eqnarray}$ als unsere Zielfunktion erhalten. Diese Zielfunktion berechnet uns die Mantelfläche sowie die 2 Grundflächen des Zylinders, und das nur in Abhängigkeit vom Radius. Von dieser Funktion wollten wir jetzt einen Tiefpunkt bestimmen Wie ermittelt man jetzt einen Tiefpunkt?
06.01.2010, 13:43	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
A´(r)=4 * pi r + 2000/(pi r) , aber wie gesagt, ich weiß irgendwie nicht ob das nur annähernd stimmt.
06.01.2010, 13:45	Knutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
nee halt, irgendwas stimmt jetzt gar nicht mehr hatten wir nicht eigentlich A(r)=2pir²+2pir1000/(pir²)
06.01.2010, 14:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatten wir, ich hab nur direkt das $\begin{eqnarray} 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1000}{\pi \cdot r^2} = 2 \cdot \frac{1000}{r} \end{eqnarray}$ gekürzt, damit kommt man dann auf $\begin{eqnarray} A(r)= 2 \cdot \pi \cdot r^2+2 \cdot \frac{1000}{r} \end{eqnarray}$ , sieht einfacher und schöner aus Die Ableitung ist zu 50% richtig, rechne nochmal mit der gekürzten Variante, die dürfte einfacher sein

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