Volumen des Oktaeders im Würfel

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Volumen des Oktaeders im Würfel
Hallo,
wie würdet ihr das Volumen des Oktaeders im Würfel berechnen? Einfach V = \frac{a^3}{3} \sqrt{2} wird ja nicht reichen..

Muss man es dann aufteilen, wiviel Anteil der Würfel selbst einnimmt?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Was ist gegeben: Würfelkante?
Wie steht der Oktaeder im Würfel: Ecken in Würfelflächenmitten?
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Es ist nichts gegeben.. also allgemein.
Und ja ich gehe davon aus, dass sich die Oktaeder-Ecken in den Mittelpunkten des Würfels befinden.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Deine Formel mit der Oktaederkante a stimmt.
Dafür muss aber der Würfel gar nicht genannt werden.
Evtl. ist die Meinung, dass du das Oktaedervolumen aus der Würfelkante k berechnest.
Beachte:
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Würfel-Oktaeder-Würfel
(nur zur allgemeinen Information, wenn es jemand interessiert)
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RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Hmm ja. Muss ich dann die Formel mit k verändern?
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Ja, bloss noch für a den Term mit k einsetzen:



und kürzen. (Aber wir wissen ja beide nicht genau, was die Aufgabe sein soll.)
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Würde die Formel für die Berechnung des Volumens des Oktaeders im Würfel wie folgt aussehen?

wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Lässt sich noch stark vereinfachen.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Hmja ich versuchs..

Noch eine Sache, die ich nicht verstehe: Wie kann das Oktaeder eine Bipyramide mit quadratischer Grundfläche sein und gleichzeitig ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche)?? Schließt sich das nicht gegenseitig aus?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Nein, das schliesst sich nicht aus.
Man geht aber je von einer anderen Grundfläche aus.
Die Interpretation als Bipyramide betrachtet eine quadratische Grundfläche, gebildet von 4 Oktaederecken.
Die Pyramidenspitzen sind dann die beiden übrigen (gegenüberliegenden) Oktaederecken.
Die Interpretation als Antiprisma betrachtet zwei dreieckige, parallele (also gegenüberliegende) Oktaederflächen
als Grund- und Deckfläche.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Ja, die Sache mit der quadratischen Grundfläche habe ich verstanden.

Das Oktaeder als Antiprisma: Liegt es dann auf einer Seitenfläche (d.h. einem Dreieck) auf? Dann lägen ja zwei dreieckige Flächen parallel..

Danke für dein Bemühen smile
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Zitat:
Original von an
Das Oktaeder als Antiprisma: Liegt es dann auf einer Seitenfläche (d.h. einem Dreieck) auf? Dann lägen ja zwei dreieckige Flächen parallel..


Ja. Genau so ist es.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
--
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Ja, so stellt man es meistens dar. (Aber natürlich ist die Lage im Raum nicht wesentlich für die Benennung eines Körpers.)

Edit: Habe Iridiums Beitrag nicht bemerkt.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Gut, dann blicke ich jetzt durch für die Prüfung Augenzwinkern danke!

Nur wie vereinfache ich die Formel von oben denn noch??!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel


Mit der Wurzel von 2 kürzen.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Gott oh man bin ich doof.. tut mir leid jetzt ist der Groschen gefallen Augenzwinkern
Danke dir!
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Wenn man es jetzt andersherum berechnen will, also das Volumen des Würfels im Oktaeder, muss ich dann genauso vorgehen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Dann wäre die Oktederkante a gegeben.
Die Kante w des einbeschriebenen Würfels wäre dann ... ?
(Tipp: Skizziere den Oktaeder mit Sicht direkt auf eine Spitze.
Wo liegen dann die Würfelecken?)
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Also wenn zB. a= 4cm müsste eine Würfelkante w sein?
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Die Würfelecken liegen ja auf den Mittelpunkten der Oktaederflächen..
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
... und die liegen auf den Flächen-Schwerlinien und die teilen sich gegenseitig
im Verhältnis 2:1.
Uebrigens, der Beitrag von Alex-Peter ganz oben zeigt (ohne Beweis),
dass w = 1/3*k ist.

Deine Behauptung w= a/2 ist falsch.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
w = Würfelkante?
k = Oktaederkante?
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
und was sind die "Flächen-Schwerlinien"?!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Seitenhalbierende:
http://www.lernstudio.ozgruenau.ch/mathbuch8/lu18/blatt2.htm

a, w und k sind von dir und mir weiter oben eingeführt worden.
an Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
Würfelkante w = 1/3 * k
Volumen Würfel = a^3

muss ich die beiden dann, ähnlich wie beim Oktaeder-Beispiel von oben, zu einer Formel verbinden?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Oktaeders im Würfel
= Kante des umschriebenen Würfels
= Kante des einbeschriebenen Würfels
a = Oktederkante

Und jetzt wieder das innere Würfelvolumen aus w berechnen, dann zuerst w durch k, und k dann durch a ersetzen.
Das wäre die Lösung der Aufgabe: «Berechne das Volumen des Würfels aus der Kante des umschriebenen Oktaeders.»
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