Raum und Unterraum

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Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »
Raum und Unterraum
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe:
sei der 3 Dreidimensionale lineare Raum der reellen (3,1) matrizen. Für ein festes und ein festes ist eine Teilmenge des

Man beweise:
E ist im Falle ein 2 Dimensionaler Unterraum von .


Wie gehe ich da ran. In der Vorlesung hatten wir Vektorräume nur ganz kurz behandelt.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

soll das u^T heissen, dass da u ei zeilenvektor ist? dann wäre c aber aus |R.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wird wohl ein Tippfehler sein. .

Um zu zeigen, dass die Dimension zwei hat, würde ich den Dimensionssatz empfehlen. Dimension des Vektorraums ist bekannt und die Dimension des Bildbereichs lässt sich auch bestimmen.

Gruß,
Reksilat.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

also es soll heißen u Transponiert. Was es ja auch seien muss, um 2 Matrizen entsprechend zu multiplizieren. Das ganze müsste ja geometrisch eine Ebenengleichung seien. Aber wieso ist im Fall c=0 die Dimension 2? Ist die Dimension einer ebene nicht immer 2?

Mit dem Dimensionssatz kann ich leider nichts anfangen. Das hatten wir auch in der Vorlesung nicht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das ganze ist eine Ebenengleichung. Wir betrachten das jetzt aber aus Sicht der linearen Algebra und da ist erstmal ein Unterraum. (Wir wollen schließlich die Dimension bestimmen und ich nehme an, dass Ihr den Dimensionsbegriff bis jetzt erst für Vektorräume kennengelernt habt. Augenzwinkern )
Um das zu zeigen, sollte man erst die Unterraumeigenschaften nachprüfen (Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Skalarmultiplikation) und dann eine Basis angeben.

Überlege Dir zum Beispiel eine Basis für , wenn ist und verallgemeinere die Überlegungen dann für .

Gruß,
Reksilat.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre eine Basis dazu:

und ?
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Jetzt versuche Dein Vorgehen mal für zu verallgemeinern.
Eventuell musst Du dabei eine Fallunterscheidung machen, da ja ein paar der auch Null sein können.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Also es muss gelten:



und
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, ja. Diese und lassen sich aber in Abhängigkeit von den konkret angeben.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Hm also mir fällt das jetzt nur zum Sonderfall ein, wenn ein u 0 ist. Dann ist der wert egal. Und die beiden anderen zahlen müssen betragsgleich und Vorzeichen verschieden sein.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann mal ein Tipp:
Es ist doch immer:

Jetzt brauchen wir noch eine zweiten Vektor.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das gilt doch nur, wenn eine Koordinate 0ist, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Das gilt doch offensichtlich für alle beliebigen . verwirrt
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf. Nach ein paar Tagen und nochmal draufgegeuckt, dann ist alles logisch. Aber wie zeige ich nun, dass die Dimension 2 ist.

Und nochmal was zur geometrischen Deutung.
...=0 bedeutet ja die Ebene geht durch den Ursprung. Also brauche ich in dem Fall nur 3 Basisvektoren, weil ja der 3. Durch den Ortsvektor des Ursprungs gegeben ist.

Für alle anderen Fälle bräuchte man dann 3 Vektoren. Kann man sich das so vorstellen. Ein Vektor um auf die Ebene zu kommen, und die anderen 2, um sich auf der Ebene zu bewegen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Einschränkung dürfen wir annehmen, dass u1 nicht Null ist. Sonst kann man den Fall erreichen durch Vertauschung von Koordinaten. Eine solche Vertauschung ist ein Isomorphismus, und Isomorphismen verändern die Dimension nicht.

Für c = 0 gilt also



Lies daraus jetzt eine Basis ab und zeige, dass es auch wirklich eine ist.
Mathias L Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Basis hatten wir ja weiter oben schon aufgestellt.



Wieso ist eigentlich nur bei c=0 die Dimension 2. Ich kann mir das nicht so recht vorstellen. man braucht doch zum beschreiben einer Ebene immer nur 2 Vektoren.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil eine Dimension nur für Vektorräume definiert ist. Für c ungleich 0 ist E aber kein Vektorraum (sondern eine verschobene Ebene), denn der Nullvektor ist dann nicht in E enthalten.
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