Ungleichung: unverständnis bei der Lösung

05.01.2010, 08:38

cutcha

Ungleichung: unverständnis bei der Lösung

Hi,

habe bei folgender Ungleichung Probleme bei der Lösung des 2. Falls und hoffe mir kann jemand helfen:

$\begin{eqnarray*} \frac{455}{4x-3} - \frac{174}{2x-5} < 1 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} (-\infty ; 0,75) \end{eqnarray*}$
... nach ausmutliplizieren etc, <-Zeichen hatte sich nicht geändert, da 4x-3<0 und 2x-5<0. Habe nur zur Übersicht den Ausdruck mit x nach links gestellt.
$\begin{eqnarray*} <=>|x-15| > 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x>17 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<13 \end{eqnarray*}$

daher habe ich angegeben: $\begin{eqnarray*} L=(-\infty ; 0,75) \end{eqnarray*}$ , also L={x € IR | x<0,75}, da ja diese auch in x<13 enthalten sind.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} (0,75 ; 2,5) \end{eqnarray*}$
...<-Zeichen ändert sich, da 4x-3>0 und 2x-5<0
$\begin{eqnarray*} <=> |x-15| < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x<17 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x>13 \end{eqnarray*}$

so hier hapert es nun. Ich habe mir gedacht, dass ja x nur zwischen 0,75 und 2,5 liegen kann. Lösung ist aber (2,5 ; 13).

In Fall 3 hatte ich dann ohne nochmal hier alles aufzuführen $\begin{eqnarray*} (17 ; \infty ) \end{eqnarray*}$ raus. Ungefähr gleiche Begründung wie bei Fall 1. Das <-Zeichen hatte sich hier nämlich auch nicht geändert, womit ich auf die gleichen Lösungen wie bei 1 kam.

Meine Lösungen von Fall 1 und 3 stimmen auch laut Lösungsbuch, nur komme ich nicht dahinter, wieso Fall 2 falsch ist.

Ich hoffe die Informationen reichen aus smile

05.01.2010, 08:45

klarsoweit

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RE: Ungleichung: unverständnis bei der Lösung

Zitat:

Original von cutcha
$\begin{eqnarray*} <=>|x-15| > 2 \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Fällt das vom Himmel? verwirrt

05.01.2010, 08:50

cutcha

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Ich hatte die Rechnung bis zu dem Schritt abgekürzt. Folgt aus:

455(2x-5)-174(4x-3) < (2x-5)(4x-3)

Sorry, dachte ich hätte das verständlich gemacht unglücklich

05.01.2010, 09:43

klarsoweit

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Ich sehe trotzdem nicht, wie man von da auf |x - 15| > 2 kommt.

05.01.2010, 09:56

cutcha

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455(2x-5)-174(4x-3) < (2x-5)(4x-3)
<=> 910x - 2275 - 696x + 522 < 8x² - 20x - 6x + 15
<=> 0 < 8x² - 240x + 1768
<=> 0 < x² - 30x + 221
<=>-221 < x² -30x
<=>-221 + 15² < x² -30x + 15²
<=> 4 < (x - 15)²
<=> 2 < |x - 15|
<=> |x - 15| > 2

05.01.2010, 11:08

klarsoweit

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RE: Ungleichung: unverständnis bei der Lösung

Zitat:

Original von cutcha
Fall 2: $\begin{eqnarray*} (0,75 ; 2,5) \end{eqnarray*}$
...<-Zeichen ändert sich, da 4x-3>0 und 2x-5<0
$\begin{eqnarray*} <=> |x-15| < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x<17 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x>13 \end{eqnarray*}$

Richtig muß es heißen: $\begin{eqnarray*} <=> x<17 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>13 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von cutcha
so hier hapert es nun. Ich habe mir gedacht, dass ja x nur zwischen 0,75 und 2,5 liegen kann. Lösung ist aber (2,5 ; 13).

Wegen dem Ergebnis 13 < x < 17 gibt es im Fall 2 keine Lösung.

Zitat:

Original von cutcha
In Fall 3 hatte ich dann ohne nochmal hier alles aufzuführen $\begin{eqnarray*} (17 ; \infty ) \end{eqnarray*}$ raus. Ungefähr gleiche Begründung wie bei Fall 1. Das <-Zeichen hatte sich hier nämlich auch nicht geändert, womit ich auf die gleichen Lösungen wie bei 1 kam.

Das war etwas voreilig. Im Fall 3 hast du x > 2,5 und als Lösung $\begin{eqnarray*} x>17 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<13 \end{eqnarray*}$ . Daraus ergeben sich 2 Lösungsintervalle.

05.01.2010, 11:43

cutcha

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Aaah

Ich bin das total falsch angegangen. Ich habe mich direkt zufrieden gegeben, nachdem ich ein Ergebnis hatte ^^ und dann stur in Fall 2 den Fehler gesucht unglücklich

Danke für deine Hilfe!

Eine Sache fällt mir noch ein, die ich noch wissen müsste:

z.B.
... <- steht für eine Rechnung die vorher stattgefunden hat!
<=> -5 < (x+2)²
=> LL= {x € IR}

weil jede Zahl zum Quadrat ja positiv ist und -5 immer kleiner als eine positive Zahl ist.

Kann man die Rechnung an der Stelle abbrechen und wirklich direkt die Lösung angeben? Oder schreibt man das dann ganz anders auf?

05.01.2010, 11:51

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Zitat:

Original von cutcha
Kann man die Rechnung an der Stelle abbrechen und wirklich direkt die Lösung angeben?

Ja.

Zitat:

Original von cutcha
Oder schreibt man das dann ganz anders auf?

Am einfachsten schreibt man IL= IR . Augenzwinkern