Eindeutigkeit Untervektorraum

06.01.2010, 15:14

RsSaengerin

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Eindeutigkeit Untervektorraum

Hallo Leute,

meine Fragestellung ist folgende:
V ist Vektorraum, U UVR von V. Ich soll ebweisen, dass außer in den Fällen U=V und U={0} das Komplement von U nie eindeutig bestimmt ist. Ich denke mal, dass ich davon ausgehen kann, dass U und V endlich sind, sonst ist der Beweis ja klar.
Ich soll den Austauschsatz dabei nutzen... und hier taucht das erste Problem auf: so richtig versteh ich den nämlich nicht.

Ich würde vlt so rangehen, dass ich erstmal eine Gegenbehauptung aufstelle und dann zeige, dass die falsch ist... nur was wären dafür geeignete Beispiele oder ist das überhaupt eine gute Herangehensweise?

Danke schonmal im Voraus :-)

06.01.2010, 16:03

Reksilat

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RE: Eindeutigkeit Untervektorraum
Du meinst, dass Du annimmst, es gäbe ein Gegenbeispiel und dann einen Widerspruch herbeiführst? Ich denke nicht, dass das hier der beste Ansatz ist.

Du hast doch einen Vektorraum V mit Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,..,v_n\} \end{eqnarray*}$ . (Ich nehme mal an, dass V endlichdimensional sein soll.)
Dein Unterraum U hat ebenfalls eine Basis: $\begin{eqnarray*} \{u_1,...,u_m\} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 1\leq m<n \end{eqnarray*}$ .

Der Austauschsatz sagt nun, dass es in der Basis von V gerade m Vektoren gibt, die sich durch die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ersetzen lassen. O.B.d.A sind das die ersten n $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \{u_1,...,u_m,v_{m+1},..,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V.
Versuche nun mal Komplemente von U zu konstruieren.

Gruß,
Reksilat.

06.01.2010, 16:13

RsSaengerin

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naja das geht nicht, weil ja nicht bekannt ist, ob und wieviele elemente zwischen u_m und v_n liegen, richtig? es könnte ja zB sein, dass v_m+1 gar nicht existiert?
und weil sich darüber keine aussage machen lässt, ist das komplement des untervektorraums nicht eindeutig bestimmbar...(?)

06.01.2010, 16:15

Reksilat

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Doch! $\begin{eqnarray*} v_{m+1} \end{eqnarray*}$ existiert. Schließlich ist m<n (folgt aus der Voraussetzung, dass U nicht der ganze Vektorraum V ist.)
Mindestens ein Komplement sollte man mithilfe der Basis sofort sehen.

06.01.2010, 16:24

RsSaengerin

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das Komplement ist V ohne U... also die Vektoren, die übrig bleiben, wenn ich die "neue" Basis von V minus der Basis von U nehme... also ist $\begin{eqnarray*} v_{m+1},...v_n \end{eqnarray*}$ eines?

06.01.2010, 16:27

Reksilat

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Der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum ist ein Komplement von U. Das ist korrekt.
Jetzt brauchen wir noch ein zweites Komplement.

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06.01.2010, 16:29

RsSaengerin

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falls v_m+2 existiert, wäre das ja auch eines. aber die existenz kann ich nicht beweisen

06.01.2010, 16:31

Reksilat

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Hä? $\begin{eqnarray*} \langle v_{m+2}\rangle \end{eqnarray*}$ ist bestimmt kein Komplement zu U.

06.01.2010, 16:34

RsSaengerin

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was wäre denn dann noch eines? Hilfe

Hilfe

06.01.2010, 17:21

Reksilat

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Ich habe übrigens bisher nicht geantwortet, da diese Chat-ähnliche Unterhaltung zwar sinnvoll sein kann, aber nur, wenn auch Fortschritte zu erkennen sind. Innerhalb von drei Minuten hast Du wohl kaum genügend Anstrengungen unternehmen können, um diese Aufgabe weiter zu überdenken. Vor allem da Du noch in einem zweiten Thread aktiv bist.
Nimm Dir bitte etwas mehr Zeit, bevor Du hier das nächste Mal postest.

06.01.2010, 18:23

RsSaengerin

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wir sind ja mehrere leute hier, die sich gedanken machen...da geht das schreiben eben schneller...

das komplement des untervektorraums U muss doch die kriterien erfüllen, dass U_1 assoziativ verknüpft mit U_2 = (U_1 + U_2) und (U_1 schnitt U_2 = {0}.
ich find kein andres komplement, das das erfüllt...

06.01.2010, 18:35

Reksilat

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Zitat:

das komplement des untervektorraums U muss doch die kriterien erfüllen, dass U_1 assoziativ verknüpft mit U_2 = (U_1 + U_2) und (U_1 schnitt U_2 = {0}.

- was soll "assoziativ verknüpft" bedeuten? Habe ich noch nie gehört
- Woher kommen U1 und U2? Das U1 soll doch sicherlich U sein und U2 das Komplement.

Du hast mit $\begin{eqnarray*} \{v_{m+1},...,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis für ein Komplement gefunden. Versuche doch mal einen der Vektoren ein wenig zu verändern.

Zitat:

wir sind ja mehrere leute hier, die sich gedanken machen...da geht das schreiben eben schneller...

Es geht nicht ums Schreiben. Auch wenn da hundert Leute sitzen - wenn Ihr nach fünf Minuten noch nichts gefunden habt, dann setzt Euch ein bisschen länger hin und überlegt.
Das ist hier kein Live-Chat mit Lösungsgarantie. Was ich bisher hier geschrieben habe sollte eigentlich locker reichen, um auf die Lösung zu kommen.

Gruß,
Reksilat.

07.01.2010, 05:51

Vasu

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Moin!

Zitat:

Der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum ist ein Komplement von U. Das ist korrekt.
Jetzt brauchen wir noch ein zweites Komplement.

Sagen wir mal U' sei Komplement von U.
Dann teilen die doch schon den gesamten Vektorraum unter sich auf. Da ist doch gar kein platz für ein zweites Komplement und wenn ja , wovon?

Zitat:

Du hast mit $\begin{eqnarray*} \{v_{m+1},...,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis für ein Komplement gefunden. Versuche doch mal einen der Vektoren ein wenig zu verändern.

das gibt mir auch zu grübeln,
unser ziel ist es ja immernoch zuzeigen das U' nicht eindeutig ist. Sollen wir nun zeigen, das man ein vektor aus U' durch unterschiedliche Basen mehrmals linearkombinieren kann? Und die Vektoren aus U' somit nicht eindeutig als Linearkombination der basen von V geschrieben werden kann?

Bitte entwirr meine Gedanken! :<

07.01.2010, 11:33

Reksilat

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Ich bringe einfach mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U=\langle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Dann ist offensichtlich
$\begin{eqnarray*} U'=\langle \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$
ein Komplement zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

Ebenso ist aber auch
$\begin{eqnarray*} U''=\langle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$
ein Komplement. Denn $\begin{eqnarray*} U\cap U''=\{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+U''=V \end{eqnarray*}$

Jetzt etwas klarer? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2010, 12:01

RsSaengerin

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wenn wir uns jetzt wieder auf $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ beziehen...

ist dann auch
$\begin{eqnarray*} U''=\langle \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\.\\.\\.\\v_n\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ ein komplement zu
$\begin{eqnarray*} U'=\langle \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\.\\.\\.\\u_m\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ ?

denn addiert ergeben die beiden ja V und der Schnitt ist {0}...?

07.01.2010, 14:07

Reksilat

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Jetzt wirst Du völlig konfus. Die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sollen doch Vektoren sein. Die als Koeffizienten eines neuen Vektors einzutragen ist Unfug!

07.01.2010, 15:20

Vasu

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Zitat:

Original von Reksilat
Ich bringe einfach mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U=\langle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Dann ist offensichtlich
$\begin{eqnarray*} U'=\langle \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$
ein Komplement zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

Ebenso ist aber auch
$\begin{eqnarray*} U''=\langle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$
ein Komplement. Denn $\begin{eqnarray*} U\cap U''=\{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+U''=V \end{eqnarray*}$

Jetzt etwas klarer? Augenzwinkern

Augenzwinkern

ahh okay , also gibt es quasi unendlich viele Komplemente.
Hatte ein falsches bild im kopf.

Ist das Komplement nun nicht eindeutig , weil es unendlich viele Komplemente gibt?

Sagen wir mal B1 ist eine Basis von U und B2 eine Basis von V. dim(B1) < dim(B2) ist ja klar
Nun wenden wir den Basisergänzungssatz auf B1, damit es eine Basis von V wird und nun sehen wir, das wir Vektoren aus der Basis vom Komplement U hinzufügen müssen.
Aber es ist nicht eindeutig, weil wir verschiedene linear unabhängige Vektoren aus U' nehmen können um B1 zu B2 zu ergänzen.

Geht das so einigermaßen in der Richtung?

Danke schon mal.

07.01.2010, 15:59

Reksilat

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Zitat:

Nun wenden wir den Basisergänzungssatz auf B1, damit es eine Basis von V wird und nun sehen wir, das wir Vektoren aus der Basis vom Komplement U hinzufügen müssen.

Den Satz verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

Allgemein kannst Du leider nicht so argumentieren, dass "etwas nicht eindeutig ist". Mit dem Austauschsatz oder Basisergänzungssatz kannst Du eine Basis für ein Komplement konstruieren. Jetzt musst Du daraus auch konkret ein zweites Komplement zu U konstruieren können.
Es ist an sich einleuchtend, dass es unendlich viele Komplemente gibt (jedenfalls für unendliches K). - Beweisen muss man das aber trotzdem noch.

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